应用拉格朗日定理证明不等式当x≠0,e^x>1+x

求详细步骤

举报该问题

推荐答案 2018-11-12

显然x=0时，e^x-1-x=0
那么令f(x)=e^x-x-1
求导即f'(x)=e^x-1
于是拉格朗日定理得到
f(x)-f(0)=xf'(ξ)=x(e^ξ-1)，ξ在0和x之间
那么x<0时，e^ξ-1<0
而x>0时，e^ξ-1>0
即x与e^ξ-1同号
所以f(x)-f(0)=x(e^ξ-1)>0
即f(x)>f(0)=0，证明e^x>1+x

温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考

当前网址：http://66.wendadaohang.com/zd/UinDxxv2D9snpx929ni.html

相似回答

用拉格朗日中值定理证明当x>0时e^x>1+x答：设函数F(x)=e^x,那么得到在定义域上有f(x)=e^x.根据拉格朗日中值定理,因为x>0,F(x)>F(0).那么存在一点t(0<t<x)满足f(t)=[F(x)-F(0)]/(x-0)=(e^x-1)/x并且已知f(x)单调递增,所以f(t)>f(0)=1.因此第三行式子满足 (e^x-1)/x >1因此e^x-1 >x 所以e^x >1+x 来自:求...

已知x≠0,证明e^x>1+x答：所以当x<0时，f '(x)<0，当x>0时，f '(x)>0，也就是说，f(x)在（-∞，0）上减，在（0，+∞）上增，因此，函数最小值 min=f(0)=0，所以，当 x≠0 时，f(x)>f(0)，即 e^x>1+x。

证明:当x>0时,e的x次方大于1+x答：又lim(x→0)f(x)=0 ∴f(x)>0 方法二（利用拉格朗日中值定理）令f(t)=e^t,f'(t)=e^t f(x)-f(0)=e^x -1=f'(θx)x(0<θ<1)即e^x -1=e^(θx) x ∵x>0,0<θ<1 ∴θx>0 ∴e^(θx)>e^0=1 ∴e^x-1=e^(θx) x>x ...

用拉格朗日中值定理证明 e的X方>=1+X答：令 f(x) = e^x,x = 0 时，显然有 e^x = 1+x.任给 x > 0，f(x) - f(0) = f'(t)(x-0) --- 0 < t< x = e^t * x > x => e^x = f(x) > x + f(0) = 1 + x;任给 x < 0，f(0) - f(x) = f'(t)(0-x) --- x < t< 0 ...

用拉格朗日中值定理证明不等式e的x次方>1+x(x不等于0)?答：设f(t)=e^t,当x>0时,在[0,x]上f(t)满足拉格朗日中值定理条件於是存在ξ∈(0,x),使f'(ξ)*(x-0)=f(x)-f(0)即e^ξ*x=e^x-1 又因为ξ>0,所以e^ξ>e^0=1 所以e^x-1=e^ξ*x>x,即e^x>1+x 当x<0时同理可证 ...

用拉格朗日中值定理证明e*x>1+x,(x>0)答：原题是：用拉格朗日中值定理证明e^x>1+x,(x>0)证明：设f(t)=e^t 则f'(t)=e^t 对任意x>0 f(t)在[0,x]上连续,在(0,x)上可导.由拉格朗日中值定理得存在a∈(0,x),使 (f(x)-f(0))/(x-0)=f'(a)而(f(x)-f(0))/(x-0)=(e^x-1)/x,f'(a)=e^a>0 所以 ...

大家正在搜

如何用拉格朗日定理证明不等式利用拉格朗日定理证明不等式拉格朗日中值定理证明不等式怎么用拉格朗日证明不等式吗拉格朗日证明不等式例题拉格朗日中值定理求不等式拉格朗日中值定理不等式例题拉格朗日定理例题详解不等式用罗尔定理证明不等式

用拉格朗日中值定理证明不等式e的x次方>1+x(x不等于0)...

用拉格朗日中值定理证明不等式当x>0时，x*e^x>e^x...

用拉格朗日中值定理证明当x>0时e^x>1+x

用拉格朗日中值定理证明当x>1时，e∧x＞ex

怎么用拉格朗日中值定理证明当x>1时，e∧x＞ex？

证明，当x＞1时，e的x次方＞ex(应该是用拉格朗日中值定...

用拉格朗日定理证明:当x>0时,ln(e^x-1)/x<x

用拉格朗日中值定理证明不等式 e^X〉1十X(X≠0)