设一次摸出白球的概率为m/(m+n)=p,那么摸出黑球的概率为1-p=q
摸出1个白球的概率为C(S,1) * p *q^(s-1)
摸出2个白球的概率为C(S,2) *p^2 * q^(s-2)
……
摸出s个白球的概率为C(S,S)* p^s
那么摸出白球的期望为 1*C(S,1) * p * q^(s-1)+2*C(S,2) *p^2 * q^(s-2)+……+s*C(S,S)* p^s
=p[1*C(S,1) * p^0 * q^(s-1)+2*C(S,2) *p^1 * q^(s-2)+……+s*C(S,S)* p^(s-1)] (式一)
上式中括号中的式子对p进行积分，然后再求导，这样结果不变。
首先对中括号中进行积分可得结果
C(S,1) * p * q^(s-1)+C(S,2) *p^2 * q^(s-2)+……+C(S,S)* p^s=
C(S,0)*q^s+C(S,1) * p * q^(s-1)+C(S,2) *p^2 * q^(s-2)+……+C(S,S)* p^s-C(S,0)*q^s
(加一个) (减一个相同的)
=（p+q）^s-q^s
2.然后对上式对p求导得 s(p+q)^(s-1)
因此式1=p*s(p+q)^(s-1)=p*s=ms/(m+n)
即期望为ms/(m+n)其实这就是一个二项分步函数的期望
按照二项分步函数方差为：sm/(m+n) *n/(m+n)=smn/(m+n)^2