关于概率论期望的问题？

Question

这个题为什么C对，A、B不对。难道期望不能指定区间吗

Answer 1

按定义，数学期望值是随机变量的按概率规律求出的加权平均值。因而，期望值应该是基于整个区间的概率规律计算的，不能指定区间计算【除非求出该区间的概率规律】，但可以指定随机变量计算。
故，本题中，A、B不对，C对。D也不对。
供参考。

Answer 2

题目
设随机变量X的分布函数F(x)只有两个间断点，则()
A. X一定是离散型随机变量
B. X一定是连续型随机变量
C. X一定不是离散型随机变量
D. X一定不是连续型随机变量
解析
利用分布函数的定义与性质，分析离散型随机变量与连续型随机变量的连续性与间断点，选出正确选项．
解答
对于连续型随机变量X，其分布概率P(x)为连续型函数，其与X的分布函数F(x)满足如下关系:F′(x)=p(x).
因为X的分布函数有两个间断点，不妨设为X1、X2，则在X1、X2处，F(x)不可导，从而X一定不是连续型随机变量，选项D正确。
由已知条件不能判断X是否为离散型随机变量，例如:
X可取的值为{0}∪(1,2)∪3，其概率密度为:
P{X=x}=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪13,x=013,1<x<213,x=30,其他
则F(x)=P{X⩽x}=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,x<013,0⩽x<113x,1⩽x<223,2⩽x<31,x⩾3，
F(x)有两个间断点:x=0，x=3，
但X不是离散型变量。
取X为离散型变量，其分布密度为:
P{X=0}=12，P{X=1}=12，
则F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,x<012,0⩽x<11,x⩾1有两个间断点:x=0，x=1.
综上，正确选项为D.
故选:D.

题目二
如下四个函数,可以作为随机变量分布函数F(x)的是()
A. F(x)=⎧⎩⎨11+x2,x>00, x⩽0
B. F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪0, x<−1516x+716,−1⩽x<11, x⩾1
C. F(x)=F1(x)+F2(x),其中F1(x),F2(x)分别为两个相互独立的连续型随机变量X1,X2的分布函数
D. F(x)=∫x−∞f(t)dt,其中∫+∞−∞f(t)dt=1
解析
随机变量分布函数F（x） 满足
F（+∝）=
lim
x+∞
F(x)=1
F(-∝)=
lim
x-∞
f(x)=0
F（x）=
∫
x
-∝
f(t)dt
解答
A:随机变量分布函数F(x)满足
limx+∞F(x)=1
limx∞11+x2=0≠1 故A的说法错误
B:该题随机变量分布函数F(x)满足
limx∞F(x)=1 limx−∞f(x)=0
则B的说法正确。
C:2个连续性随机变量分布函数相加不一定是连续性随机变量分布函数。故C的说法错误。
D:F(x)=∫x−∝f(t)dt但f(t)需为连续型随机变量密度函数。故D的说法错误。