为什么不同特征值对应的特征向量一定线性无关

如题所述

推荐答案推荐于2017-12-16

这个问题你可以作为一道证明题来做：证明不同特征值对应的特征向量线型无关.设x1,x2 是A的两个不同的特征值；n1,n2分别为其对应的特征向量.设存在实数k1.k2 使得 k1*n1+k2*n2=0;易证不同特征值对应的特征向量线型无关.还可以从特征值和特征向量的定义式看：An1=x1*n1;An2=x2*n2A 为矩阵； x1,x2为特征值；n1,n2为其对应的特征向量若n2与n1 线性相关,则n2= b*n1 带入An2=x2*n2得到：b*An1=b*x1*n1 ;也即An1=x1*n1得到特征值x2的存在是没有意义的,或者说是和x1相等的.与已知他们是两个不同的特征值是矛盾的.所以：n2与n1 线性相关的假设是错误的

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第1个回答 2018-11-07

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为什么不同特征值对应的特征向量一定线性无关?还有怎么判断一个n阶矩...答：特征值a的几何重数就是 n-r(A-aE)也就是齐次线性方程组 (A-aE)X=0 的基础解系所含向量的个数几何重数不超过代数重数

矩阵的特征值和特征向量一定线性无关吗?答：2、相同特征值对应的特征向量不一定线性无关因为，某个特征值的一个特征向量的非零倍数，也是该特征值的特征向量但两个特征向量，因为是倍数关系，因此是线性相关的。又例如，如果一个特征值，相应特征方程解出来，基础解系中有多个解向量，这些解向量是线性无关的，且都是此特征值的特征向量。

若矩阵A有n个不同的特征值,对应n个特征向量,他们线性无关吗?答：不同特征值对应的特征向量肯定是线性无关 这是在矩阵对角化时的时候需要了解的一个定理 所以若A有 n个不同的特征值则一定有 n个线性无关的特征向量就可以进行相似对角化

为什么不同特征值的特征向量线性无关答：特征向量表示的是矩阵变换中只有伸缩变换没有旋转变换的方向向量，一个方向只有一个伸缩系数。因此，来自不同特征值的特征向量不可能有线性关系。从物理视角来看，量子力学中，特征向量是一组正交基，是能级对应的波函数，不同能级的波函数不可能有耦合，因此来自不同特征值的特征向量线性无关。

为什么不同特征值对应的特征向量线性无关答：对应于特征向量n1和n2可以被表示为一个与另一个成比例（即n2=kn1）。将代入到矩阵A中，得到An2=Ax2=(Ak)n1=xkn1≠kx1n，等式左边是以x2为系数乘以n的结果，右边是以x作用在由n引导构建出来，在已知是两个不同的特征值时，默认情况下二者必然满足线性无相关条件。

不同特征值对应的特征向量线性无关吗?答：不同特征值对应的特征向量线性无关。若是属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定；反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。特征向量对应的特征值是它所乘的缩放因子。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的...

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