求证：在半径为R的圆的内接矩形中，面积最大的是正方形，它的面积等于2R^2

Question

如题所述

Answer 1

圆的内接矩形的边长的一半的平方和等于半径的平方：

(a/2)^2+(b/2)^2=r^2

a*b的最大值在a=b时取得，

(a/2)^2*2=r^2

a^2/4*2=r^2

a*b=a*a=a^2=2*r^2

a*b的最大值在a=b时取得的证明：

上面的式子的特点是两个数的平方和等于一个常常数，求这两个数的积的最大值

x^2+y^2=c

则y=sqrt(c-x^2)……sqrt表示开方

x*y=sqrt(cx^2-x^4）

令t=x^2：

x*y=sqrt(ct-t^2)

ct-t^2是个抛物线，其取得最大值的点为t=-c/(-1*2)=c/2

所以当t=x^2=c/2时(即x=sqrt(c/2)）取得最大值，

此时：

y=sqrt(c-x^2)=sqrt(c-t)=sqrt(c-c/2)=sqrt(c/2)=x