曲线y=e^x与过原点切线以及y轴所围成的图形面积是什么

Question

如题所述

Answer 1

设切点为（x0,e^x0)
因为切线过原点，其斜率为k=e^x0/x0
y'=e^x
为切线的斜率
y'(x0)=e^x0
则
y'(x0)=e^x0=e^x0/x0
解得x0=1
y'(0)=e
k=e/1=e
所以
所求的切线为y=ex
由切线、y轴及y=e的x方所围成的面积s=∫(0,1)[e^x-ex]dx=(e-1)-e/2=e/2-1

Answer 2

先算切线方程
令切点为（x0,y0）
则该点切线斜率为e^x0
得到该切线方程
y-y0
=
e^x0
*
(x-x0)
又因为y0
=
e^x0，而且（0，0）满足切线方程
解得x0=1，y0=e，切线方程为y=ex
面积=∫（0，1）(e^x
-
ex)dx
=(e^x
-
ex²/2)|(0,1)
=e
-
e/2
-
1
=e/2
-
1