求位于曲线y=e^x 的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。

Question

希望能给完整的过程，再教一下小弟这种题目是怎样思考的

Answer 1

该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积为e/2。

解：令过原点的切线与曲线y=e^x的切点P为(x，e^x)。

而切线斜率k=y'=e^x，又k=e^x/x，那么e^x/x=e^x，可得x=1，

那么切线的斜率k=e，切线方程为y=ex，而切点P为(1，e)。

那么曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积S为，

S=∫(-∞,1)e^xdx-∫(0,1)e*xdx

令F(x)=∫e^xdx，G(x)=∫e*xdx，那么F(x)=e^x+C1，G(x)=e*x^2/2+C2，则

S=F(1)-F(-∞)-(G(1)-G(0))

=e-0-(e/2-0)

=e-e/2

=e/2

即面积等于e/2。

扩展资料：

1、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质

（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。

（2）当a>b时，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。

（3）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。

（4）如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有，

∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx

2、定积分的应用

（1）解决求曲边图形的面积问题

（2）求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

（3）求变力做功

某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。

（4）数列求和的极限

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

函数y=e^x在点(x0，e^x0)处的切线的斜率为k=y'=e^x0

过原点的切线为y-e^x0=(e^x0)*(x-x0)。

在上式中代入(0，0)，得

0-e^x0=(e^x0)*(-x0)。

解得x0=1。

所以，切点为(1,e)，切线为y=x。

则所求面积为：

S=∫（-∞，0）(e^x)dx+∫（0，1）(e^x-x)dx

=1+e-3/2

=e-1/2。

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

扩展资料：

定积分的应用：

1、解决求曲边图形的面积问题。

2、求变速直线运动的路程。做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

3、变力做功。某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。

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Answer 3

设切点为(x0,e^x0)，则切线斜率为e^x0，切线可表示为 y=(e^x0)*x，再将切点坐标代入可得：x0=1；
故切线方程：y=e*x；、
S＝∫{-∞,0}e^x dx + ∫{0,1}[e^x-e*x]dx = [1-0]+[e^x-e*x²/2]|{0,1} = 1+[(e-1)-(1-0)e/2] = e/2；追问

切线方程和切点是怎么求到的啊？求具体 谢谢

Answer 4

设切点为（x0,e^x0)
因为切线过原点，其斜率为k=e^x0/x0
y'=e^x
为切线的斜率
y'(x0)=e^x0
则
y'(x0)=e^x0=e^x0/x0
解得x0=1
y'(0)=e
k=e/1=e
所以
所求的切线为y=ex
由切线、y轴及y=e的x方所围成的面积s=∫(0,1)[e^x-ex]dx=(e-1)-e/2=e/2-1

Answer 5

　　首先求出切线方程，设切线为y=kx，切点为（x0，e^x0）
　　k=e^x0 e^x0=kx0=x0*e^x0 x0=1
　　S=e-1-e/2=e/2-1 e-1为e^x下方面积，e/2为切线下方面积
　　思路就是先把切线方程求出来，这样就能用定积分算面积了