求这道题通解

Question

如题所述

Answer 1

解：∵原方程的齐次方程是(x+1)y'-2y=0
==>(x+1)y'=2y
==>dy/y=2dx/(x+1)
==>ln∣y∣=2ln∣x+1∣+ln∣C∣ (C是积分常数)
==>y=C(x+1)²
∴此齐次方程的通解是y=C(x+1)²
于是，由常数变易法，设原方程的解为y=C(x)(x+1)² (C(x)是关于x的函数)
代入原方程，化简得 C'(x)(x+1)³=(x+1)^4
==>C'(x)=x+1
==>C(x)=(x+1)²/2+C (C是积分常数)
==>y=C(x)(x+1)²=(x+1)^4/2+C(x+1)²
故 原方程的通解是 y=(x+1)^4/2+C(x+1)²。