把第二个等号右端按累次积分的上下限画出积分区域的草图:视t为纵坐标,积分区域D用不等式组表示是:0≤x≤3π/2,0≤t≤x。即D是由直线t=x、直线x=3π/2和x轴围成的三角形区域。
改变积分次序为先对x积分、后对t积分,积分限的确定办法如下:
①将三角形区域向t轴投影,投影区间是[0,3π/2],于是t的下限为0、上限为3π/2;
②为了确定x的上下限,在[0,3π/2]内任取一点t,过t作垂直于t轴的直线,该直线(从左向右)从与直线t=x的交点处穿入D、而从与直线x=3π/2的交点处穿出D,穿入D的点对应的x值t就是x的下限,而穿出D的点对应的x值3π/2就是x的上限。即x的下限为t、上限为3π/2.
①、②结合起来就得到第三个等号右端。
追答接下去的计算很简单:对x积分时,由于被积函数与x无关,积分结果就等于上限3π/2减去下限t,与被积函数的分母约分后就得到第四个等号右端