函数奇偶性和周期性

Question

问下这道题怎么做，我高三现在复习，对这部分比较白痴

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时， f(x)= 1/2 x ，试求f(x)= -1/2的一切x值

Answer 1

这是一道高考题目的压轴题
大哥啊，我这可是卷子上的标准答案啊！
一
由于f（2-x）=
f（2+x），
f（7-x）=
f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7，
即f（x）不是奇函数。
联立
f（2-x）=
f（2+x）
f（7-x）=
f（7+x）
推得f（4-x）=
f（14-x）=
f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
又
f（1）=
f（3）=0
，而f（7）≠0
故函数为非奇非偶函数。
（Ⅱ）f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）=
f（14-x）=
f（x）
且闭区间[0，7]上只有f（1）=
f（3）=0
得f（11）=
f（13）=f（-7）=
f（-9）=
0
即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解
则方程f（x）=0在闭区间[0，2005]上的根为402个，方程f（x）=0在闭区间[－2005，0]上的根为400个
得方程f（x）=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数为802个

Answer 2

Ⅰ.f(x+2)=-f(x)=f(-x)①,所以f[(-1-x)+2]=f[-(-1-x)],即f(1-x)=f(1+x)②,实际根据①可直接看出②(即对称轴为x=（x+2-x）/2=1);
Ⅱ.同理f(x)=f(2-x),所以f(x)=f(-x-2)=f[2-(-x-2)]=f(x+4),即周期T=4
Ⅲ.f(x)当x∈[0,1]时，都有f(x)=1/2x，作图可解出一个周期的解-1和3，且刚好位于最低点，故X=-1+4n,n是整数.(作图很重要)

Ⅳ.可以自己总结当f(x)=-f(x+a)和奇偶性结合时函数关于对称性周期性的一般性结论.

Ⅴ.“我高三现在复习，对这部分比较白痴”：多总结，举一反三！本回答被提问者采纳

Answer 3

1、
1>
f(x)关于x=a对称(轴对称)
=>
f(a-x)=f(a+x)
=>
f(a-x)=f(2a-(a-x))
=>
f(x)=f(2a-x)
同理可得
f(x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f((2a-x)+(2b-2a))
=>
f(x)=f(x+(2b-2a))
=>
周期T=绝对值(2b-2a)=2b-2a
2>
f(x)关于(b,0)对称(点对称)
=>
f(b+x)=-f(b-x)
=>
f(x)=-f(2b-x)
=>
f(2a-x)=-f(2b-(2a-x))=-f(x+(2b-2a))
又
f(x)=f(2a-x)
=>
f(x)=-f(x+(2b-2a))
=>
f(x+(2b-2a))=-f((x+2b-2a)+(2b-2a))
=>
-f(x+2b-2a)=f(x+4b-4a)
=>
f(x)=f(x+(4b-4a))
=>
周期T=4b-4a
3>
由2>易知
f(x)=-f(2a-x)
以及
f(x)=-f(2b-x)
=>
-f(2a-x)=-f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f((2a-x)+(2b-2a))
=>
f(x)=f(x+(2b-2a))
=>
周期T=绝对值(2b-2a)=2b-2a
2、周期函数不一定有最小正周期，为什么?
一般，对周期函数的最主要性质的概括就是
f(x)=f(x+T)......(T不等于0)
所谓不存在最小正周期
也就是
满足等式的T存在，但求不出最小值
其中一种情况就是T为无穷小(无限逼近于零)
这时的周期是无法用一个常数表达的
比如
f(x)=C(C为一个常数)
又比如狄利克莱函数，道理一样。
3、奇偶性
1>
1)考察定义域
(1-x)/(1+x)>0
=>
(-1,1)
=>
关于元点对称
2)判断奇偶性
f(x)=loga[(1-x)/(1+x)]=loga(1-x)-log(1+x)
=>
f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)]=loga(1+x)-log(1-x)
=>
f(x)=-f(-x)
=>
奇函数
2>
1)考察定义域
x+√(x2+1)>0
=>
定义域R关于元点对称
2)判断奇偶性
f(x)+f(-x)
=loga[x+√(x^2+1)]+
loga[-x+√((-x)^2+1)]
=loga{[x+√(x^2+1)]*[-x+√((-x)^2+1)]}
=loga(1)
=0
=>
f(x)=-f(-x)
=>
奇函数