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用拉格朗日证明不等式例题
怎么
用拉格朗日
中值定理
证明不等式
?
答:
根据
拉格朗日
中值定理 ln(x+1)=ln[x(x+1)]-lnx =ln'e[x(x+1)-x] ① x<e<x(x+1) ② 1/x(x+1)<ln'e=1/e<1/x //根据e倒数 - 改变②不等式 不等式两边同乘以[x(x+1)-x]x/x+1< ln'e[x(x+1)-x]=ln(x+1)< x ...
运用拉格朗日
中值定理
证明不等式
(lnb-lna)/(b-a)>(2a)/(a^2+b^2...
答:
具体回答如下:
证明
:构造:f(x)=lnx,其中x∈(a,b)根据
拉格朗日
中值定理:(lnb-lna)/(b-a) = f'(ξ) = 1/ξ 1/ξ > 1/b 2a/(a²+b²) ≤2a/2ab=1/b 1/ξ >1/b≥2a/(a²+b²)(lnb-lna)/(b-a) >2a/(a²+b²)拉格朗日中值定理的...
应用
拉格朗日
中值公式
证明
下列
不等式
答:
解:由
拉格朗日
中值定理:对于函数y=lnx,x∈(a,b),必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(lnb-lna)/(b-a)成立又因为ξ∈(a,b),f'(x)=1/x,且0<a<b故f'(ξ)∈(1/b,1/a)故有:1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a成立即:(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a成立...
利用拉格朗日
定理
证明不等式
答:
解答过程如下图所示:
用拉格朗日
中值定理
证明不等式
答:
/(b-a) 。1797年,
拉格朗日
中值定理被法国数学家拉格朗日在《解析函数论》中首先给出,并提供了最初的
证明
。现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家O.博内给出 。拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系, 在研究函数的单调性、凹凸性以及
不等式
的证明等方面, 都可能会用到拉格朗日中值定理 ...
用拉格朗日
中值定理
证明不等式
答:
本题思路: 由于In1=0,所以In(x+1)可以改写成In(x+1)-In1,再进行
拉格朗日
中值定值解决就很简单了!In(x+1)=In(x+1)-In1=1,由于不支持一些数学符号,所以 具体证法见图片!
利用拉格朗日
中值定理
证明
下列
不等式
:
答:
设f(x)=lnx,则f'(x)=1/x ∵0<a<b ∴f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,即满足
拉格朗日
中值定理的所有条件。∴存在ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=1/ξ=[f(b)-f(a)]/(b-a)∵0<a<ξ<b ∴1/b<1/ξ<1/a ∴1/b<[f(b)-f(a)]/(b-a)<1/a ∴(b-a)/...
拉格朗日
中值定理如何
证明不等式
的
答:
u)=e^u>1 -> (f(b)-f(0))/(b-0)>1 -> f(b)>b+1 -> e^b>b+1 (2).第二个
不等式
可由(1)得出,下面证第一个不等式:设g(x)=(1+x)*ln(1+x)对任意b>0 根据中值定理,存在v,满足01 (g(b)-g(0))/(b-0)=(1+b)*ln(1+b)/b>1 -> ln(1+b)>b/(1+b)
用拉格朗日
中值定理
证明不等式
答:
用拉格朗日中值定理
证明不等式
介绍如下:
利用拉格朗日
中值定理证明不等式:当h>0时,h/(1+h^2)<arctan h<h。令f(x)=arctanx,则f'(x)=1/(1+x^2) 由拉格朗日中值定理有存在实数c,使得f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0) 再此取x0=0,则f(0)=0 应用上面的...
设x>-1,
用拉格朗日
中值定理
证明不等式
x/x+1≤ln(x+1)≤x
答:
[[[1]]]先
证明
又边
不等式
构造函数f(x)=x-ln(1+x),x>-1.[[1]]当-1<x<0时,易知,在区间[x,0]上,由
拉格朗日
中值定理可知,存在ξ∈(x,0)满足f(0)-f(x)=f'(ξ)×(0-x)∴ln(1+x)-x=-xξ/(1+ξ)易知,-xξ/(1+ξ)<0∴ln(1+x)<x[[2]]当x=0时,显然,ln(x...
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