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用拉格朗日中值定理证明不等式例题
微分
中值定理证明不等式
答:
第一题:令f(x)=lnx 则由
拉格朗日中值定理
可得:lna-lnb=1/ξ*(a-b)(lna-lnb)/(a-b)=1/ξ a<ξ<b 1/b<1/ξ<1/a 1/b<(lna-lnb)/(a-b)<1/a (a-b)/b>lna/b>(a-b)/a 第二题:e^π>π^e 两边取对数 πlne>elnπ π>elnπ π-elnπ>0 令f(x)=x-elnx ...
拉格朗日中值定理
内容及典型
例题
答:
拉格朗日中值定理
的题 (1) e^x > ex (x>1)(2) b - a > 1/a -1/b (b>a>1)
证明
以上
不等式
(1) e^x > ex (x>1)证明:设f(x)=e^x ,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在c∈(1,x),使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1),即e^x...
应用
拉格朗日中值
公式
证明
下列
不等式
答:
解:由
拉格朗日中值定理
:对于函数y=lnx,x∈(a,b),必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(lnb-lna)/(b-a)成立又因为ξ∈(a,b),f'(x)=1/x,且0<a<b故f'(ξ)∈(1/b,1/a)故有:1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a成立即:(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a成立...
用拉格朗日中值定理证明不等式
答:
/(b-a) 。1797年,
拉格朗日中值定理
被法国数学家拉格朗日在《解析函数论》中首先给出,并提供了最初的
证明
。现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家O.博内给出 。拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系, 在研究函数的单调性、凹凸性以及
不等式
的证明等方面, 都可能会用到拉格朗日中值定理 ...
拉格朗日中值定理
如何
证明不等式
的
答:
u)=e^u>1 -> (f(b)-f(0))/(b-0)>1 -> f(b)>b+1 -> e^b>b+1 (2).第二个
不等式
可由(1)得出,下面证第一个不等式:设g(x)=(1+x)*ln(1+x)对任意b>0 根据
中值定理
,存在v,满足01 (g(b)-g(0))/(b-0)=(1+b)*ln(1+b)/b>1 -> ln(1+b)>b/(1+b)
用拉格朗日中值定理证明不等式
答:
本题思路: 由于In1=0,所以In(x+1)可以改写成In(x+1)-In1,再进行
拉格朗日中值
定值解决就很简单了!In(x+1)=In(x+1)-In1=1,由于不支持一些数学符号,所以 具体证法见图片!
如何
用拉格朗日中值定理证明
对数
不等式
x/(1+x)≤ln(1+x)当x>-1时...
答:
简单
证明
一下即可,答案如图所示
用拉格朗日中值定理证明不等式
答:
用拉格朗日中值定理证明不等式介绍如下:
利用拉格朗日中值定理证明不等式
:当h>0时,h/(1+h^2)<arctan h<h。令f(x)=arctanx,则f'(x)=1/(1+x^2) 由拉格朗日中值定理有存在实数c,使得f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0) 再此取x0=0,则f(0)=0 应用上面的...
利用拉格朗日中值定理证明不等式
答:
即arctanx=x/(1+ξ^2).1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1,所以,x/(1+x^2)<arctanx<x.2、取函数f(x)=lnx,x∈[a,b]f(b)-f(a)=f'(ξ)×(b-a).f'(ξ)=1/ξ∈(1/b,1/a),所以,(b-a)/b<lnb-lna<(b-a)/a,即 (b-a)/b<ln(b/a)<(b-...
利用拉格朗日中值定理证明
下列
不等式
:
答:
设f(x)=lnx,则f'(x)=1/x ∵0<a<b ∴f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,即满足
拉格朗日中值定理
的所有条件。∴存在ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=1/ξ=[f(b)-f(a)]/(b-a)∵0<a<ξ<b ∴1/b<1/ξ<1/a ∴1/b<[f(b)-f(a)]/(b-a)<1/a ∴(b-a)/...
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