设x＞-1,用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x

Question

设x＞-1,用拉格朗日中值定理证明不等式x/x+1≤ln(x+1)≤x

Answer 1

[[[[1]]]]先证明又边不等式构造函数f(x)=x-ln(1+x),x＞-1.[[1]]当-1＜x＜0时,易知,在区间[x,0]上,由拉格朗日中值定理可知,存在ξ∈(x,0)满足f(0)-f(x)=f'(ξ)×(0-x)∴ln(1+x)-x=-xξ/(1+ξ)易知,-xξ/(1+ξ)＜0∴ln(1+x)＜x[[2]]当x=0时,显然,ln(x+1)=x[[[3]]]当x＞1时.构造函数f(x)=x-ln(x+1)
易知,在区间[0,x]上,由拉格朗日中值定理可知存在ξ∈(0,x)满足f(x)-f(0)=f'(ξ)×(x-0)∴x-ln(x+1)=[1-(1/(ξ+1))]x=xξ/(ξ+1)＞0
∴ln(x+1)＜x综上可知,ln(x+1)≤x[[[[[2]]]]]左边同理可证.