设fx=x2 px q, p,q为实数.若fx在-1≤x≤1时的最大值为m,求m的最小值

Question

设fx=x2 px q, p,q为实数.若fx在-1≤x≤1时的最大值为m,求m的最小值

Answer 1

f(x)=x²+px+q
=(x+p/2)²+q-p²/4.
开口向上，对称轴为x=-p/2，
且p、q∈R，x∈[-1,1].

⑴
-p/2>1，即p<-2时，
对称轴位于区间右侧，f(x)单调递减，
∴m=f(-1)=-p+q+1，
此时，m、p、q是线性关系，
m不存在最大或最小值.

⑵
-1≤-p/2≤1即-2≤p≤2时，
m=f(-p/2)=q-p²/4.
对称轴位于区间内，即
p=1或p=-1时，
m最小值为p-1/4.

⑶
-p/2<-1即p>2时，
对称轴位于区间左侧，f(x)单调递增，
m=f(1)=p+q，
同上，此时m不存在最大或最小值。