求半径为R的内接等腰梯形ABCD面积的最大值，（用导数

Question

快点嘛

Answer 1

如图，连接OD，设OD与直径的夹角为α，则：

OE=Rsinα；DE=Rcosα

所以，AD=2DE=2Rcosα

则梯形的面积S=(2Rcosα+2R)*Rsinα/2=R^2*sinα(cosα+1)

那么，S'=R^2*[cosα*(cosα+1)+sinα*(-sinα)]

=R^2*(cos^2 α-sin^2 α+cosα)

=R^2*(2cos^2 α+cosα-1)

=R^2*(2cosα-1)(cosα+1)\

则当S'=0时有唯一驻点cosα=1/2，即α=π/3

则面积最大值=R^2*(√3/2)*[(1/2)+1]=(3√3/4)R^2.

Answer 2

答：题目文字描述中条件不多，根据图中的条件
等腰梯形的底边通过圆心，即底边BC是圆的直径2R
所以：BC=2R
连接AO、DO，则：AO=BO=CO=DO=R
设∠ABO=∠DCO=x，则：∠AOB=180°-2x，
点A到BC边的距离即是等腰梯形的高
h=AOsin∠AOB
=Rsin(180°-2x)
=Rsin2x
上底AD=2AOcos(180°-2x)
=-2Rcos2x
所以：cos2x<0，90°<2x<180°，45°<x<90°
所以等腰梯形的面积：
S=(BC+AD)h/2
=(2R-2Rcos2x)(Rsin2x)/2
=R^2(1-cos2x)sin2x
=R^2(sin2x-sin2xcos2x)
S对x求导：
S'(x)=R^2(2cos2x-2cos²2x+2sin²2x)
=2R^2(cos2x-2cos²2x+1)
令S'(x)=0，即：cos2x-2cos²2x+1=0
解得：cos2x=-1/2，cos2x=-1不符合舍去(因为此时A和B重合）

所以：sin2x=√3/2
所以：最大面积S=R^2(1+1/2)(√3/2)=3√3(R^2)/4追问

S'(x)=R^2(2cos2x-2cos²2x+2sin²2x)
=2R^2(cos2x-2cos²2x+1)？？？？？？

追答

S'(x)=R^2(2cos2x-2cos²2x+2sin²2x)
=2R^2(cos2x-cos²2x+sin²2x) 提取公因数2
=2R^2(cos2x-cos²2x+1-cos²2x) 利用公式cos²2x+sin²2x=1
=2R^2(cos2x-2cos²2x+1)

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Answer 3

郭敦顒回答：
半径为R的内接等腰梯形ABCD的面积为S，BC=2RM，连OA ，OA=R，令
∠AOB=θ，作AD⊥BC于D，令AD= h，OD=a，则h=Rsinθ，a=Rcosθ，
AD=2a=2Rcosθ，
∴S=（AD+BC）h/2=Rsinθ（2Rcosθ+2R）/2=R²（sinθcosθ+1）
S=R²（sinθcosθ+1），
求S最大值时，则对S求导并等于0，
S′= R² （cos ²θ－sin²θ）=0
∴cosθ=sinθ，∴θ=45°
∴maxS= R²（sinθcosθ+1）=1.5R²

Answer 4

连接BD设∠DCB=θ
CD=2Rcosθ
梯形的高 h=CDsinθ=2Rsinθcosθ
过D作DE⊥BC于E点，CE=CDcosθ=2Rcos²θ
AD=2R-4Rcos²θ
S=(AD+BC)h/2=(2R-4Rcos²θ+2R)(2Rsinθcosθ)/2
=4R²sin³θcosθ
S '(θ)=4R²[3sin²θcos²θ-sin⁴θ)=4R²sin²θ(3cos²θ-sin²θ)=4R²sin²θ(√3cosθ+sinθ)(√3cosθ-sinθ)
令S '(θ)=0
==>
tanθ=√3
θ=60º
即当圆被六等分时梯形的面积最大
S(MAX)=3√3R²/4