在半径为R的半圆内,以直径为一底边做一个内接等腰梯形,问如何作可使面积最大?

Question

在半径为R的半圆内,以直径为一底边做一个内接等腰梯形,问如何作可使面积最大?最大面积为多少？用导数做

Answer 1

1.假设圆的方程为：x^2 + y^2 = R^2 (y >= 0)；
2.假设等腰梯形的上底与圆的交点分别为（x1,y1）和(-x1,y1)。那么梯形的面积S = (2x1 + 2R)y1/2(注：x1 >= 0, y1 >= 0).
3.又因为x1^2 + y1^2 = R^2，所以y1 = (R^2 - x1^2)^0.5。
4.易得：S = (x1 + R1)(R^2 - x1^2)^0.5
5.要使S取最大值，那么必须有：ds/dx1 = 0
又因为 ds/dx1 = (R^2 - x1^2)^0.5 + (x1 + R1)(-2x1)/[2(R^2 - x1^2)^0.5]
= (R^2 - x1^2 - x1)/(R^2 - x1^2)^0.5
所以，R^2 - x1^2 - x1 = 0，得到x1 = [-1 +(1 + 4R^2)^0.5]/2
那么，当x1 = [-1 +(1 + 4R^2)^0.5]/2时，梯形面积有最大值，
Smax = ……下面的我就不算了啊，双重根号不好敲：）

Answer 2

由于圆中两平行弦所夹的弧相等，因此梯形为等腰梯形
设上底所对的圆心角的一半为θ(θ∈(0,π/2）)，则此弦的弦心距为Rcosθ，上底为2Rsinθ
S＝1/2*（2R+2Rsinθ)*Rcosθ=R^2(1+sinθ)cosθ
然后就是求S＝f(θ)的最大值
求导，有多种求法，就用乘法的求导法则
S'＝R^2[cosθ*cosθ-(1+sinθ)sinθ]=R^2[(cosθ)^2-sinθ-(sinθ)^2]
令S'＝0，则(cosθ)^2＝sinθ+(sinθ)^2，把(cosθ)^2换成1-(sinθ)^2
2(sinθ)^2+sinθ-1=0，θ∈(0,π/2）
因此得sinθ＝1/2或-1(舍)
带入S，即得S{max}＝3/4*(sqrt3)R^2

Answer 3

sinθ＝1/2 S{max}＝3/4*(sqrt3)R^2

Answer 4

其实很简单 既然是等腰梯形 不管怎么做都是一样的面积 至于多大 我就不知道了