如果f(x)在x0这一点左右导数存在,为什么可以推出f(x)在x0连续的结论?
如果f(x)在x0这一点左右导数存在且相等,为什么可以推出f(x)在x0可导的结论?
注:f(x)为分段函数
因为左导数等于[f(x0-dx)-f(x0)]/(-dx)
右导数等于[f(x0+dx)-f(x0)]/(dx)。如果两者都存在f(x0-dx)和f(x0+dx)都趋于f(x0),否则极限不存在,所以必然连续
因为这是导数的定义
如果对于非分段函数来说这没错,但是对于分段函数来讲,f(x)在分段点x0的左右极限可能不等于在x0这一点的函数值啊,那么不就是不连续吗?不连续函数必不可导啊
追答但是当左右导数同时存在时,他们在左右两侧同时趋于f(x0),在这种情况下,它不可能不等于x0这点的函数值,否则怎么趋于同一个值
追问在分界点x0的数值可以人为的设定为一个常数啊,f(x)是一个分段函数啊
追答你说的那是没有前提的情况下正确,但是当f(x0-dx)和f(x0+dx)同时趋于f(x0)时,这个是不成立的。如果任意一个数不连续,要么f(x0-dx)无法趋于f(x0)要么f(x0+dx)无法趋于f(x0),不可能同时成立