性微分方程解的结构
我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。
二阶线性方程的一般形式为
其中y",y',y都是一次的，否则称为二阶非线性方程。
线性齐次方程解的结构
二阶线性齐次方程的形式为：
定理：如果函数 均是方程 的解，那末 也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数。
线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。
问题：我们所求得的解 是不是方程的 通解呢？
一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念：线性相关与线性独立。
定义：设 是定义在区间I的两个函数，如果 ，那末称此
两函数在区间I线性相关，否则，即 之比不恒等于一个常数，那末称此两函数线性独立或线性无关。
为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理。
定理：如果 是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末 就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。
线性非齐次方程解的结构
二阶线性非齐次方程的形式为：
对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？
答案是肯定的。为此我们有下面的定理。
定理：设y是二阶线性非齐次方程 的任一特解，Y是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程 的通解。
我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下：
定理：设有线性非齐次方程 .如果 分别是方程
与方程
的解，那末 就是原方程的解。
二阶常系数齐次线性方程的解法
前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。
二阶线性齐次方程的解法
二阶线性齐次方程的一般形式为： ，其中a1，a2为实常数。
我们知道指数函数eax求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使eax满足方程上面的方程。我们可令： ，代入上面的方程得：
因为eax≠0，所以：
这样，对于上面二次方程的每个根ρ，eax就是方程 的一个解。方程 就被称为方程 的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：
1.特征方程有两个不等的实根的情形
设此两实根为 。于是 是齐次方程 的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程 的通解为：
其中c1，c2为实常数。
2.特征方程有重根的情形
此时特征方程的重根应为： ，于是只能得到 的一个特解： ，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为： .于是方程 的通解为:
3.特征方程有共轭复根的情形
设共轭复根为 ，那末 是方程 的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式： ，为此可以得到方程 的通解：
由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：
1.对照方程 写出其特征方程： ； 2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ2
3.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。
例题：求方程 的通解.
解答：此方程的特征方程为：
它有两个不相同的实根 ，因此所求的通解为：
二阶常系数非齐次线性方程的解法
我们来学习二阶常系数线性非齐次方程 的求解方法.由前面我们知道线性非齐次方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次方程的通解之和。前面我们已知道对应齐次方程的通解的解法，现在的关键是怎样求得特解。
二阶常系数非齐次线性方程的解法
常系数二阶线性非齐次方程的一般形式为：
下面我们根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式：
（1）：设 ，其中μ为一常数，
若 为零次多项式，此时：
a):当μ不是特征方程的根时，可设
b):当μ是特征方程的单根时，可设
c):当μ是特征方程的重根时，可设
若 为一m次多项式，即：μ=0，此时
a):当a2≠0即μ=0不是特征方程的根时，可设
b):当a2=0，a1≠0时，即μ=0是特征方程的单根时，可设
c):当a2=0，a1=0时，即μ=0是特征方程的重根时，可设
例题：求方程 的一个特解
解答：对应的特征方程为
原方程右端不出现 ，但可以把它看作是 ，即μ=0
因为μ=0不是特征方程的根，所以设特解为
代入原方程，得
于是：
故所求的特解为：
（2）：设 或 ，其中a,μ,v为常数。
此时的特解为：
例题：求方程 的特解
解答：显然可设特解为：
代入原方程得：
由此得：
A=-1
从而原方程的特解是
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