已知函数f（x）＝1/a－1/x（a＞0，x＞0）。（1）若f（x）在区间[m，n]上的值域是[m，n],求a的取值范围...

Question

已知函数f（x）＝1/a－1/x（a＞0，x＞0）。（1）若f（x）在区间[m，n]上的值域是[m，n],求a的取值范围，并求相应的m，n的值。（2）若f（x）小于等于2x在（0，正无穷）上恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

首先，函数在(0,+∞)上单调递增的；

（1）[m，n]上的值域是[m，n]
因此，必有f(m)=m，f(n)＝n
1/a-1/m=m
1/a-1/n=n
两式相减，得：(n-m)(mn-1)/(mn)=0,故有mn=1,m、n为倒数关系；
由于m+1/m>2
故0<a<1/2

（2）1/a-1/x≤2x在(0,+∞)上恒成立；
即：1/a≤2x+1/x
2x+1/x≥2√(2x/x)＝2√2,当2x=1/x，x=√2/2时取“＝”

所以a≥√2/4

Answer 2

(1) 设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=1/x2-1/x1=(x1-x2)/x1x2<0。
所以f(x)为增函数。
f(m)=m ,f(n)=n。
m=1/a-1/m
n=1/a-1/n
m²-1/am+1=0，n²-1/an+1=0。
m,n为方程y²-1/ay+1的两个不相等的实根，
判别b²-4ac=1/a²-4×1×1>0 a>0，故a的范围为0<a<1/2。
m=[1/a-√(1/a²-4)]/2，n=[1/a+√(1/a²-4)]/2。(因为m<n)
(2)f(x)小于或等于2x在（0，+无穷）上恒成立。
即1/a<=1/x+2x (x>0)
求出1/x+2x在(0，+无穷)的最小值即可.
1/x+2x≥2√2，x=√2/2取等号。1/a<=2√2 a>=√2/4