高中数学导数题目

Question

题目

Answer 1

发一下原题
已知函数f（x）=x2+alnx-2（a＞0）
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞2（a-1）成立，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，方程g（x）=0在区间[e-1，e]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）由f（x）=x2+alnx-2（a＞0），知f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=-2x2+ax，且知直线y=x+2的斜率为1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II） 由f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2，推导出当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，所以f(2a)＞2(a-1)即可．由此能求出a的取值范围．
（ III）依题意得g(x)=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=x2+x-2x2．由此能推导出b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+alnx-2（a＞0），
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=-2x2+ax，且知直线y=x+2的斜率为1．
∴f′(1)=-212+a1=-1，解得a=1．
∴f(x)=2x+lnx-2.f′(x)=x-2x2．
由f'（x）＞0，解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（ II） f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2．
由f'（x）＞0，解得x＞2a；由f'（x）＜0解得0＜x＜2a．
所以f（x）在区间(2a，+∞)上单调递增，在区间(0，2a)上单调递减．
所以当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．
因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以f(2a)＞2(a-1)即可．
∴22a+aln2a-2＞2(a-1)．即aln2a＞a，解得0＜a＜2e．
所以a的取值范围是(0，2e)．
（ III）依题意得g(x)=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=x2+x-2x2．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为方程g（x）=0在区间[e-1，e]上有两个不同的实根，
所以g(e-1)≥0g(e)≥0g(1)＜0，
解得1＜b≤2e+e-1．
所以b的取值范围是(1，2e+e-1]．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

Answer 2

第一问很简单，由题意知，x=1时的导数为-1得到值为3
第二问转化为函数1y=b+2与函数2y=2/x+3lnx的交点在取值区间上就可以了，答案自己算吧