设随机变量X与Y独立, X服从正态分布N(μ,σ^2 ), Y服从[-pi,pi]上的均匀分布,求Z=X+Y的密度函数

Question

计算结果用标准正态分布函数Φ表示,

Answer 1

fY(y)=1/（2π），y∈[-pi,pi]，其他为0
FZ(z)=P{Z<=z}=P(X+Y<=z)=∫ fY(y)P{X<=z-y}dy = ∫(－∞,＋∞)fY(y)Φ((z-y-u)/σ)dy
fZ(z)=∫(-π,+π)φ((z-y-u)/σ)/(2π)dy
=[Φ((z+π-u)/σ)-Φ((z-π-u)/σ)]/（2π）
不明白可以追问，如有帮助，请选为满意回答！追问

fZ(z)=∫(-π,+π)φ((z-y-u)/σ)/(2π)dy
=[Φ((z+π-u)/σ)-Φ((z-π-u)/σ)]/（2π）
是否应该为
fZ(z)=∫(-π,+π)φ((z-y-u)/σ)/(2π)dy
=[Φ((z-π-u)/σ)-Φ((z+π-u)/σ)]/（2π）？

追答

-π是积分下限，π是积分上限。你写的结论为负值了。

追问

嗯嗯嗯，我弄错了，谢谢

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