1,α- l - β为120度,P到 α、β的距离为3,4。求P到棱的距离
2.已知圆C1=(x-2√3)^2+(y-1)^2=1.圆C2的圆心在直线x-y+3=0上且与圆C1外切于点(3√3/2 , 3/2) (1)求圆C2的方程且证明x轴是它们的一条外公切线;(2)求另一条外公切线的方程。 (3)求两条外公切线与切点间的圆弧所围图形的面积。
1ï¼å·²ç¥äºé¢è§çå¹³é¢è§Î±- L - β为120度,På°å¹³é¢ αåå¹³é¢Î²çè·ç¦»åå«ä¸º3å4ãæ±På°æ£±Lçè·ç¦».
解ï¼ä½åç´äºæ£±Lçå¹³é¢ä¸å¹³é¢Î±ç¸äº¤äºAOï¼ä¸å¹³é¢Î²ç¸äº¤äºBOï¼è®¾â POA=αï¼é£ä¹â POB=120°-α
äºæ¯å¾çå¼ï¼3/sinα=4/sin(120°-α)ï¼å³æ3sin(120°-α)=4sinαï¼
å±å¼å¾ 3(sin120°cosα-cos120°sinα)=3(sin60°cosα+cos60°sinα)=3[(â3/2)cosα+(1/2)sinα]=4sinα
(3â3/2)cosα=(5/2)sinαï¼äºæ¯å¾tanα=(3/5)â3ï¼æ sinα=(3/2)â(3/13)ï¼äºæ¯å¾PO=3/sinα=2â(13/3)
å³På°æ£±Lçè·ç¦»ä¸º2â(13/3)=(2/3)â39ï¼
2ãå·²ç¥åC₁ï¼(x-2â3)²+(y-1)²=1ï¼åC₂çåå¿å¨ç´çº¿x-y+3=0ä¸ä¸ä¸åC₁å¤åäºç¹ï¼3â3/2ï¼3/2ï¼ (1)æ±åC2çæ¹ç¨ä¸è¯æxè½´æ¯å®ä»¬çä¸æ¡å¤å ¬å线ï¼ï¼2ï¼æ±å¦ä¸æ¡å ¬å线çæ¹ç¨ã ï¼3ï¼æ±ä¸¤æ¡å¤å ¬å线ä¸åç¹é´çå弧æå´å¾å½¢çé¢ç§¯ã
解ï¼(1).C₁(2â3ï¼1)ï¼r₁=1ï¼è¿æ¥C₁ååç¹Q(3â3/2ï¼3/2)çç´çº¿çæçk=(3/2-1)/(3â3/2-2â3)=(1/2)/(-â3/2)=-â3/3ï¼æ C₁Qæå¨ç´çº¿çæ¹ç¨ä¸ºy=-(â3/3)(x-2â3)+1=-(â3/3)x+3ï¼
令-(â3/3)x+3=x+3ï¼å¾x=0ï¼y=3ï¼å³åC₂çåæ 为(0ï¼3)ï¼åC₂çåå¾r₂=â£C₁C₂â£-r₁
=â[(0-2â3)²+(3-1)²]-1=(â16)-1=3ï¼æ åC₂çæ¹ç¨ä¸º x²+(y-3)²=9ï¼
åC₂çåå¿å¨(0ï¼3)ï¼åå¾ä¹æ¯3ï¼æ åC₂ä¸xè½´ç¸åï¼åC₁çåå¿å¨(2â3ï¼1)ï¼åå¾ä¹æ¯1ï¼æ
åC₁ä¹ä¸xè½´ç¸åï¼æ xè½´æ¯äºåçå¤å ¬å线ï¼
(2)C₁C₂æå¨ç´çº¿çæçK=-2/2â3=-1/â3=-â3/3ï¼æ å ¶å¾è§Î±=150°ï¼å ¶ä½è§=30°ï¼æ å¦ä¸æ¡å¤å ¬
å线çå¾è§Î²=180°-60°=120°ï¼å ¶æç=tan120°=-tan60°=â3ï¼
设C₂C₁ç延é¿çº¿äº¤xè½´äºA(aï¼0)ï¼ç±ç¸ä¼¼â³å¾1/3=(a-2â3)/aï¼è§£å¾a=3â3ï¼
æ å¦ä¸æ¡å¤å ¬å线çæ¹ç¨ä¸º y=-(â3)(x-3â3)=-(â3)x+9
(3)设åC₁ä¸xè½´çåç¹ä¸ºBï¼é£ä¹æ¢¯å½¢OC₁C₂Bçé¢ç§¯S0=[(3+1)Ã2â3]/2=4â3ï¼
åå¿è§â OC₂C₁=Ï/3ï¼æ æå½¢OC₂Qçé¢ç§¯S₂=(1/2)Ã3²ÃÏ/3=(3/2)Ïï¼
åå¿è§â C₂C₁B=Ï-Ï/3=2Ï/3ï¼æ æå½¢QC₁Bçé¢ç§¯S₁=(1/2)Ã1²Ã(2Ï/3)=Ï/3ï¼
æ 两æ¡å¤å ¬å线ä¸åç¹é´çå弧æå´å¾å½¢çé¢ç§¯S=2[So-(S₁+S₂)]=2{4â3-[Ï/3+(3/2)Ï]}
=2[4â3-11Ï/6]=8â3-11Ï/3.
å¾åå¦ä¸(å¾æ·ç»äºï¼ä½è½ä¸è½æ¾ç¤ºï¼å°±çè¿æ°å¦ï¼)