第1个回答 2009-06-10
1.已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A,B两点，O为坐标原点
（1）求证OA垂直于OB
（2）当△OAB的面积等于√10时，求k的值
(1)将y=k（x+1）代入y²=-x并整理得k²x²+(2k²+1)x+k²=0。
知x1*x2=1,x1+x2=-(2k²+1)/k²。
y1*y2=k²(x1+1)*(x2+1)
=k²[x1*x2+(x1+x2)+1]
=k²[1-(2k²+1)/k²+1
=-1。
因为x1*x2+y1*y2
=0，所以，OA垂直于OB。
(2)(1+k²)[(x1+x2)²-4x1*x2]*[k²/(1+k²)]=40,得
k²[-(2k²+1)/k²]²-4k²=40，即
4k²+1=40k²
得k=1/6或k=-1/6。
2.已知直线l：x-y+3=0及圆C：x²+(y-2)²=4，令圆C在x轴同侧移动且与x轴相切
（1）圆心在何处时，圆在直线l上截得的弦最长？
（2）圆心在何处时，l与y轴的交点把弦分成1：2？
(1)显然，当且仅当圆心在直线上时截得的弦最长。
此时，y=2，有x=-1,即当圆心为（-1，2）时，圆在直线l上截得的弦最长。
(2)l与y轴的交点为M(0,3),设圆心C(a,2),弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，有圆心到弦的距离为|a+1|/√2，此时圆的方程为(x-a)²+(y-2)²=4。
将直线方程y=x+3代入圆的方程中并整理得2x²-2(a-1)x+a²-3=0。由韦达定理得x1+x2=a-1,x1*x2=(a²-3)/2,
|AB|=(√2)√[(x1+x2)²-4x1*x2]
=(√2)√[(a-1)²-2(a²-3)]
=(√2)√(-a²-2a+7)。
由题意可得方程CM²-(|a+1|/√2)²=(|AB|/6)²,即
a²+1-(a²+2a+1)/2=(-a²-2a+7)/18得
5a²-8a+1=0，解得
a=(4+√11)/5或a=(4-√11)/5。
第2个回答 2009-05-31
对图形旋转180度，抛物线成为y^=x，直线为y=k（x-1）,①[t1^,t1][t2^,t2]t1/[t1^-1]=t2/[t2^-1],t1t2^-t1=t2t1^-t2,t1t2[t2-t1]=t1-t2,t1t2=-1,[t1/t1^]*[t2/t2^]=-1,②有上面还会得到[t2-t1]/[t2^-t1^]=k,t1+t2=1/k,t1t2=-1注意用到三角形是直角的条件△OAB的面积等于1/2{t1^t2^+t1^4t2^4+t1^t2^*(t1^+t2^)}=0.5*√{1+1+1*(1/k^+2)}=√10,解得k=±[1/6]二l与y轴的交点把弦分成1：2 包括交点的左边的部分弦
是点右边的部分弦的两倍，交点的左边的部分弦
是点右边的部分弦的0.5倍，[2t^2+(2-2a)t+(a^2-3)=0依题意有两根满足x1=2x2所以有 ]应该改为[假设x1＜x2],x1=-2x2,或者2x1=-x2,两根符号相反，需要负号建立对应的长度的关系