已知函数f﹙x﹚＝㏑x－ax⑴求函数f﹙x﹚的单调区间⑵当a＞0时，求函数f﹙x﹚在[1,2]上的最

Question

已知函数f ﹙x﹚＝㏑x－ax⑴求函数f﹙x﹚的单调区间⑵当a＞0时，求函数f﹙x﹚在[1,2]上的最小值

Answer 1

数学之美团为你解答

函数f(x)＝lnx-ax的定义域：x>0，f'(x)=1/x-a，由f'(x)=0，即1/x-a=0可得：x=1/a

(1) 当a=0时，f(x)=lnx，函数在定义域内是增函数
当a>0时，x<1/a时，f'(x)>0，函数是增函数；x>1/a时，f'(x)<0，函数是减函数
当a<0时，f'(x)>0，函数在定义域内是增函数
所以，当a<=0时，函数是增函数；当a>0时，单调增区间是(0,1/a]；单调减区间是[1/a,inf)

(2) 当a>0时
当1/a<=1时，即：a>=1时，区间[1,2]在函数的减区间上，当x=2时，函数取得最小值
即：fmin=f(2)=ln2-2a
当1/a>=2时，即：0<a<=1/2时，区间[1,2]在函数的增区间上，当x=1时，函数取得最小值
即：fmin=f(1)=-a
当1<1/a<2，即：1/2<a<1时，如果f(1)>f(2)，即-a>ln2-2a，即：ln2<a<1时，
函数在x=2时取得最小值，即：fmin=f(2)=ln2-2a
如果f(1)>f(2)，即-a<ln2-2a，即：1/2<a<ln2时，函数在x=1时取得最小值，即：fmin=f(1)=-a
如果f(1)=f(2)，即-a=ln2-2a，即：a=ln2时
函数在x=1或2时均取得最小值，即：fmin=f(1或2)=-ln2
综上：在a>0时，当0<a<ln2时，函数最小值是-a；当a>ln2时，函数最小值是ln2-2a；
当a=ln2时，函数最小值是-ln2