已知数列｛an｝满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n∈N＊）.（1）求证：数列｛an＋1｝为等比数列，并求出数列...

Question

已知数列｛an｝满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n∈N＊）.（1）求证：数列｛an＋1｝为等比数列，并求出数列｛an｝的通项公式；（2）若数列｛bn｝满足bn＝nan，求数列｛bn｝的前n项和Sn.

Answer 1

a[n＋1]＝2an＋1
a[n+1]+1=2(an+1)
即有[a(n+1)+1]/(an+1)=2
所以,数列{an+1}是一个首项是a1+1=2公比q=2 的等比数列.
即有an+1=2*2^(n-1)
an=2^n-1
bn=nan=n*2^n-n
Sn=(1*2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n)-(1+2+3+...+n)
设Tn=1*2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n
2Tn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+n*2^(n+1)
Tn-2Tn=2+2^2+2^3+...+2^n-n*2^(n+1)=2*(2^n-1)/(2-1)-n*2^(n+1)=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
即Tn=(n-1)*2^(n+1)+2
所以,Sn=(n-1)*2^(n+1)+2-(1+n)n/2

Answer 2

因为a1＝1，an＋1＝2an＋1
所以an＋1＝2（an＋1），又a1+1=2
｛an＋1｝是以2为首项，2为公比的等比数列
an＋1=2^n
an=2^n-1
｛bn｝的前n项和，用错位相减的方法，很容易求，略（输入太麻烦）

Answer 3

an+1=2an+1, an=0????
请把题目写正确