经过抛物线的焦点的弦的中点的轨迹方程，越简单越好，什么消什么的方法没学过，最好写之前能告诉我是运...

Question

经过抛物线的焦点的弦的中点的轨迹方程，越简单越好，什么消什么的方法没学过，最好写之前能告诉我是运用什么公式

Answer 1

不妨设抛物线为y² = 2px, 焦点F(p/2, 0)
设弦的斜率为k，则方程为y - 0 = k(x - p/2) (点斜式)
x = y/k + p/2
代入抛物线方程: y² = 2p(y/k + p/2) = 2py/k + p²
y² - 2py/k - p² = 0
y₁ + y₂ = 2p/k, y₁y₂ = -p² (韦达定理)
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)为弦的端点。
弦的中点P(x, y):
y = (y₁ + y₂)/2 = p/k, k = p/y

x = (x₁ + x₂)/2 = (y₁/k + p/2 + y₂/k + p/2)/2 = p/2 + p/k² = p/2 + p/(p/y)² = p/2 + y²/p
y² = p(x - p/2)
此即为过抛物线的焦点的弦的中点的轨迹方程