设A,B为n阶非零矩阵，且AB=0，则A,B的秩分别为都小于n，我只明白A或B的其中一个小于n.....

Question

如题所述

Answer 1

反证法：若A的秩等于n，则A可逆 ，于是由AB=0左乘A^(--1)得B=0，矛盾。
若B的秩等于n，则B可逆，由AB=0右乘B^(--1)得A=0，矛盾。追问

这只能说明A，B的秩不能都为n啊。。。

追答

是都不为n，不能为n，就是小于n啊。因为秩最大是n，不等于n的话，当然是小于n了。

追问

恩，明白了，谢谢啊！能再讲一个方法吗，这是个选择题啊。。。

追答

这已经证的很简单了。其实你明白A 和B的地位是完全类似的，AB=0等价于B^TA^T=0，因此只要知道一个秩小于n，另外一个必小于n。