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设A为n阶矩阵B为m阶矩阵
A为n阶矩阵
,
B为m阶矩阵
,C为m×
n矩阵
,D为n×
m矩阵
,其中A和B可逆;证明...
答:
A
-BD^-1C B 0 D 所以 |H| = |D||A-BD^-1C|.综上有 |A||D-CA^-1B|=|D||A-BD^-1C|
矩阵A
有
n阶
,
B
有
m阶
,那么A+ B的秩
是
多少?
答:
AB的秩永远小于等于A的秩和
B
的秩两者的最小值。秩是线性代数术语。在线性代数中,一个
矩阵
的秩是其非零子式的最高
阶
数,一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。在解析几何中,矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。在控制论中,矩阵的秩可以用来确定线性系统...
设分块
矩阵
D=(C A B 0),其中
A为n阶
可逆矩阵,
B为m阶
可逆矩阵.求|D|以...
答:
|D| = |A||
B
| (-1)^t t = n+1,n+2,...,n+m + 1+2+...+m =
mn
+ 2(1+2+..+m)所以 |D| = |A||B| (-1)^mn D 的逆 = ( O,B逆 ; A逆,- A逆CB逆 )
设A为n阶
正定矩阵,
B为
n*
m阶矩阵
,证明r(BTAB)=r(B) T为上标
答:
首先BX = 0的解显然
是B
'ABX = 0的解.反过来, 若X满足B'ABX = 0, 则(BX)'A(BX) = X'B'ABX = 0.而A正定, 故由(BX)'A(BX) = 0可得BX = 0, 即X也是BX = 0的解.因此B'ABX = 0与BX = 0同解, 解空间维数m-r(B'
AB
) = m-r(B).即得r(B'AB) = r(B).
线性代数题
设A为n阶
正定
矩阵
,
B为m
*n实矩阵,证明B(转置)AB也正定_百 ...
答:
②
B是n
*
m阶
.B′
AB
可以乘,是实对称的,但也不一定正定.例如B=0.或者m>n.(此时,行列式|B′AB|=0)③B是n*m阶,m≤n.秩B<m.B′AB也不正定.(行列式=0)④只有在B是n*m阶,m≤n.并且秩B=m时.B′AB才是正定的.证明如下.此时,线性方程组BX=0只有零解.(X
是m
维列向量)对于任意...
设A为n阶
可逆矩阵,
B为
n×
m矩阵
,证明:秩(AB)=秩(B)
答:
秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。m×
n矩阵
的秩最大
为 m
和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则
矩阵是
秩不足的。
高数线性代数
设A为n阶
可逆矩阵,
B为
任一n*
m矩阵
,如何证明
答:
初等行变换相当于在
矩阵
的左边乘一系列初等矩阵 初等矩阵的乘积是可逆矩阵 P(A,B)=(E,X)PA=E PB=X 得 P=A^-1, X=A^-1B
设A是m
*
n矩阵
,
B是n
*
m矩阵
,证明:必有行列式|AB|=0
答:
这个很简单,设M比N小,那么A的秩只能小于或者等于M,同样,B的秩也小于M,所以A*B的秩也小于M。但是A*B的行列式等于B*A的行列式,而B*
A是
个
N阶
的
方阵
。因为B*A不满秩,M〈N,所以B*A的行列式就是零,也就是A*B的行列式是零。
2、
设A为m
×
n矩阵
,
B为n
×
m矩阵
,且m<n,已知AB=I,其中I
为m阶
单位矩阵,证 ...
答:
证明: 首先有 r(B)>=r(
AB
)=r(I)=
m
而B只有m列, 所以 r(B)<=m 综上有 r(B)=m.即B的列向量组线性无关.
刘老师,
设A为n阶
非奇异矩阵,
B为
n×
m矩阵
,试证:A与B之积的秩等于B的秩...
答:
证明:
A为n阶
非奇异
矩阵
,则A是若干初等矩阵的乘积,于是AB相当于对B进行了若干次行初等变换,初等变换不改变矩阵的秩 所以r(AB)=r(B)
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设n阶矩阵A与s阶矩阵B都可逆
A是m阶矩阵B是n阶矩阵
n阶矩阵A与n阶矩阵B等级
若A和B为n阶矩阵且A和B相似
设A和B为n阶矩阵
设AB均为n阶矩阵
设AB均为n阶可逆矩阵
AB为n阶矩阵
设n阶矩阵A和B满足