åçï¼
设两æ°ä¸ºaãb(a>b)ï¼ç¨gcd(a,b)表示aï¼bçæå¤§å ¬çº¦æ°ï¼r=a (mod b) 为aé¤ä»¥bçä½æ°ï¼k为aé¤ä»¥bçåï¼å³a÷b=k.......rãè¾è½¬ç¸é¤æ³å³æ¯è¦è¯ægcd(a,b)=gcd(b,r)ã
第ä¸æ¥ï¼ä»¤c=gcd(a,b)ï¼å设a=mcï¼b=nc
第äºæ¥ï¼æ ¹æ®åæå¯ç¥r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第ä¸æ¥ï¼æ ¹æ®ç¬¬äºæ¥ç»æå¯ç¥cä¹æ¯rçå æ°
第åæ¥ï¼å¯ä»¥æå®m-knä¸näºè´¨(å设m-kn=xdï¼n=yd (d>1)ï¼åm=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)dï¼åa=mc=(ky+x)cdï¼b=nc=ycdï¼åaä¸bçä¸ä¸ªå ¬çº¦æ°cd>cï¼æ céaä¸bçæå¤§å ¬çº¦æ°ï¼ä¸åé¢ç»è®ºçç¾)ï¼å æ¤cä¹æ¯bä¸rçæå¤§å ¬çº¦æ°ã
ä»èå¯ç¥gcd(b,r)=cï¼ç»§ègcd(a,b)=gcd(b,r)ã
è¯æ¯ã
以ä¸æ¥éª¤çæä½æ¯å»ºç«å¨åå¼å§æ¶râ 0çåºç¡ä¹ä¸çãå³mä¸n亦äºè´¨ã
解éï¼
è¾è½¬ç¸é¤æ³ï¼ åå欧å éå¾·ç®æ³ï¼Euclidean algorithmï¼ä¹æ±ä¸¤ä¸ªæ£æ´æ°ä¹æå¤§å ¬å åçç®æ³ãå®æ¯å·²ç¥æå¤èçç®æ³ï¼ å ¶å¯è¿½æº¯è³å ¬å å300å¹´åã
æ¥æºï¼
设两æ°ä¸ºaãb(a>b)ï¼æ±aåbæå¤§å ¬çº¦æ°(aï¼b)çæ¥éª¤å¦ä¸ï¼ç¨aé¤ä»¥bï¼å¾a÷b=q......r1(0â¤r1)ãè¥r1=0ï¼å(aï¼b)=bï¼è¥r1â 0ï¼ååç¨bé¤ä»¥r1ï¼å¾b÷r1=q......r2 (0â¤r2ï¼.è¥r2=0ï¼å(aï¼b)=r1ï¼è¥r2â 0ï¼å继ç»ç¨r1é¤ä»¥r2ï¼â¦â¦å¦æ¤ä¸å»ï¼ç´å°è½æ´é¤ä¸ºæ¢ãå ¶æåä¸ä¸ªä½æ°ä¸º0çé¤æ°å³ä¸º(a, b)çæå¤§å ¬çº¦æ°ã
ä¾å¦ï¼a=25,b=15ï¼a/b=1......10,b/10=1......5,10/5=2.......0,æåä¸ä¸ªä½æ°ä¸º0dçé¤æ°å°±æ¯5, 5å°±æ¯ææ±æå¤§å ¬çº¦æ°ã
举ä¾è¯´æï¼
ä¸å®æ¹ç¨ä¸º326x+78y=4ï¼æ±åºä¸ç»æ´æ°è§£x,y
æ±ï¼326,78ï¼çç®å¼ä¸ºï¼
326=4*78+14
14=326-4*78
78=5*14+8
8=78-5*14
14=1*8+6
6=14-1*8
8=1*6+2
2=8-1*6
6=3*2
æ以
2=8-6=8-ï¼14-8ï¼
=2*8-14=2*ï¼78-5*14ï¼-14
=2*78-11*14=2*78-11*ï¼326-4*78ï¼
=46*78-11*326
å³2=(-11)*326+46*78
æ以4=(-22)*326+92*78
æ以x = - 22, y = 92æ¯ä¸å®æ¹ç¨326x+78y=4çä¸ç»è§£ã