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    • 设A是n阶方阵，如有非零矩阵B使AB=0，证明|A|=0.

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    推荐答案   2011-10-29
    用反证法. 若R(A) =N,则A可逆. A^(-1)[AB] = A^(-1)*0 = 0, 又A^(-1)[AB] = B ,因此,B=0. 与B不等于0矛盾. 故,R(A)
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    第1个回答  2011-10-29
    R(A)+R(B)〈=n，因为B为非0矩阵，所以R(B )大于等于1，所以R(A)〈n，所以得证
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    设A是n阶方阵,如有非零矩阵B使AB=0,证明|A|=0.答：因为ab=0,所以ab=0 即齐次线性方程组ax=0存在非零解,所以r(a)<n否则a有逆，记为a^(-1)，于是b=eb=(a^(-1))ab=0，其中e是单位阵。矛盾。
    设A为n阶非零矩阵,且|A|=0,证明存在n阶非零矩阵B使AB=0答：因为 |A|=0 所以 r(A)<n 所以 A 的列向量组线性相关 所以存在不全为0 的数满足 k1a1+...+knan = 0 令 B= (k1,...,kn)^T 则 B 非零, 且 AB=0.
    设A是一个n阶矩阵。试证:存在一个n阶非零矩阵B,使得AB=O的充分必要条 ...答：证明: 必要性.由AB=0知B的列向量都是AX=0的解 再由B是非零矩阵知AX=0有非零解 所以 |A| = 0.充分性:由|A|=0知AX=0有非零解b1.令B=(b1,0,0,...,0) --除第1列其余都是0的矩阵 则有 AB=0 且 B 是非零矩阵.
    设A是n阶矩阵,且A≠0,若存在n阶非零矩阵B,使得AB=0,求证:|A|=0答：“矩阵≠0”和“非零矩阵”一样!由A≠0, B≠0 得 r(A)>=1, r(B)>=1 由AB=0, 得 r(A)+r(B)<=n 所以 r(A)<= n-r(B) <= n-1 所以 |A|=0.
    证明 设A使n阶方阵,A不等于O,则存在一个非零矩阵B,使得AB=O的充要条...答：证明: 必要性.因为 存在一个非零矩阵B，使得AB=O 所以 B的列向量都是 AX=0 的解向量 所以AX=0有非零解 所以 |A| = 0.充分性.因为 |A| = 0, 所以 AX=0 有非零解 b1,...,bs 令 B=(b1,...,bs)则有 AB = 0.
    设A是为n阶非零矩阵且|A|=0,证明:存在n阶非零矩阵B,使AB=0(用行列式...答：证明：|A|=0 即AX=0 存在非零解 那么若x1为AX=0的解向量，则利用x1，构成解矩阵B 即可 B=（x1，x2，…，xn），其中x1不等于0， x2=x3=…=xn=0 而B为非零矩阵，即为所求
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