求解直线过定点问题四法（1）取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。例1 求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。解 令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。将（1，-1）点代入原方程得（m+1）· 1+（m-1）（-1）-2＝0 成立，所以该定点P为（1，-1）。（2）由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。例2 已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。证明 由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k ∴（k+1）x-k=（k-1）y+k （k+1）x-k-1=（k-1）y+k-1 （k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1）即因此当k≠1时，直线l的方程为直线的点斜式y-y0=k（x-x0）的当k=1时，原直线l的方程为x=1 综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。（3）方程思想若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。例3 若 2a-3b=1（a，b∈R），求证：直线 ax＋by=5必过定点。解 由已知得 ax+by=5（2a-3b），即 a（x-10）+b（y-15）=0 无论a，b为何值上式均成立，所以a，b的系数同时为0。 （4）直线系观点过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。例4 求证对任意的实数m，直线（m-1）x＋2（m-1）y＝m-5必过定点。解 原式可整理为（x＋2y-1）m-（x＋y-5）＝0
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