数学归纳法如何证明数列极限存在？

Question

如题所述

Answer 1

用定义证明。

分析：因为 xn的极限为a 所以 对于任给的ε 。
总存在 N1>0,使得 n>N1时 | Xn-a| < ε /2。
现设X1+X2+X3+….+XN1 - N1a =A （ 常数）。

而 |(x1+x2+x3+….+xn)/n - a |。

= |A/n +{ ( X(N1+1) + …. + xn) - (n-N1) a } / n |。
<= |A/n | +| [X(N1+1) - a] / n| + …. + +| [Xn - a] / n |。
<= |A/n | +| (n-N1)ε /(2 n) |。
故 要使|(x1+x2+x3+….+xn)/n - a | < ε。
可使|A/n | +| (n-N1)ε /(2 n) | < ε。
可解得n>2A/ε-N1, 所以对于任给的ε ，总存在N=max{N1,2A/ε-N1}使得n>N时 |(x1+x2+x3+….+xn)/n - a | <ε。

极限归并原理，假如x3k+2趋于另一个极限，那么数列极限不存在。

第一题：将所有的a1,a2,...,am全部用A代替,这样把整个式子放大了,结果为n次根号下(n*A^n)=n次根号下(n)*A,极限为A然后将该式缩小,a1,a2,...,am中肯定有一个和A相等的,把这一项留下,其余项删除,这样就缩小了,结果为：n次根号下(A^n)=A放大与缩小后的极限都是A,这样由夹逼准则,本题得证。

第二题,首先要证明极限存在,该数列单增是比较显然的,下面证明有界,数学归纳法,x1。