已知函数f(x)=(aχ2^x-1)/(1+2^x)(a∈R)

Question

1、若f(x)为奇函数，求a的值
2、当a=5时，函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求其对称中心，若不存在，请说明理由

Answer 1

1、若f(x)为奇函数，则f(1)=-f(-1),所以a=1.
2、存在。坐标为（0,5）。f(x)=(aχ2^x-1)/(1+2^x)=5+(-6)/(1+2^x)。设该点为（c,d）。对于函数上任意一点（x1,y1）有对称点，则设该点为（x2,y2）。所以x1+x2=2c，y1+y2=2d。所以y2=2d-y1，x2=2c-x1。所以，2d-y1=5+(-6)/(1+2^(2c-x1))。且y1=5+(-6)/(1+2^x1)。代入消去y1.有2d-(-6)/(1+2^(2c-x1))=10+(-6)/(1+2^x1)。只要令cd满足上式即可。令c=0,得到d=5。