x大于0,y大于0,x不等于y,且x+y=(x^2)+(y^2)+xy,求证1小于x+y小于4/3

Question

如题所述

Answer 1

x＞0,y＞0,x≠y,x+y=x²+y²+xy，求证1＜x+y＜4/3
∵ x>0, y>0, xy>0,x≠y
∴x+y=x²+xy+y²<x²+xy+y²+xy=x²+2xy+y²=(x+y)²
即: x+y<(x+y)²
∴1<x+y
∵ (x-y)²=x^²+y²-2xy>0
∴ x²+y²>2xy
∵(x+y)²=x²+y²+2xy>2xy+2xy=4xy
∴xy<(x+y)²/4
∵x+y=x²+xy+y²=(x+y)²-xy>(x+y)²-(x+y)²/4=3(x+y)²/4
∴x+y<4/3
故 1 <x+y<4/3
证毕

Answer 2

首先不难看到 (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = x + y + xy。因为x, y>0，所以 (x+y)^2 > (x+y)，即x+y > 1。
其次，(x+y)^2 = x+y + xy <= x+y + (x + y)^2 / 4，于是3/4 (x+y)^2 <= x + y。等号成立的条件是x = y，但题目规定了x不等于y，所以。。。。

Answer 3

x>0,y>0,x≠y,且x+y=x²+y²+xy,求证1<x+y<4/3
证明：∵x>0，y>0，x≠y，∴x+y=x²+y²+xy<x+y=x²+y²+2xy=(x+y)²
即有(x+y)²-(x+y)=(x+y)(x+y-1)>0，∵x>0，y>0，x+y>0，故得x+y-1>0，即有x+y>1.
又∵x>0，y>0，x≠y，∴(x+y)²=x²+y²+2xy>4xy，∴xy<(x+y)²/4...........(1)
又已知x+y=x²+y²+xy=(x+y)²-xy>(x+y)²-(x+y)²/4=3(x+y)²/4
即有1>3(x+y)/4,∴x+y<4/3.
故1<x+y<4/3得证.