已知连续函数f(x)=∫(上限是3x,下限是0)f(t/3)dt+e^2x,求f(x)。

Question

如题所述

Answer 1

两边求导得：f
'(x)=f(x)*3+2e^(2x)
将x=0代入原式得：f(0)=1，这是
初始条件
。
先解微分方程
f
'(x)=f(x)*3+2e^(2x)
即
f
'(x)-3f(x)=2e^(2x)，
一阶线性微分方程
，直接套
公式
f(x)=e^(∫3dx)[∫
2e^(2x)*e^(-∫3dx)dx+C]
=e^(3x)[∫
2e^(2x)*e^(-3x)dx+C]
=e^(3x)[∫
2e^(-x)dx+C]
=e^(3x)[-2e^(-x)+C]
=-2e^(2x)+Ce^(3x)
然后将x=0，f(0)=1代入得：C=3
f(x)=-2e^(2x)+3e^(3x)