如图,将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。设A、P两点间的距离为x
①当点Q在边CD上时,求证:PB=PQ
②当点Q在边CD上,设四边形PBCQ为y,求y与x的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围
③当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由。
解çï¼â å¦å¾ä¸â æ示ï¼éè¿ç¹PåADçå¹³è¡çº¿ï¼åå«äº¤AB ãCDäºMãNã
å 为ABCD为æ£æ¹å½¢ä¸è¾¹é¿ä¸º1ï¼AC为对è§çº¿ï¼æ以MP=MAï¼å èMB=1-MA=1-MP=MN-MP=PN
å¨Rtâ³BPMåRtâ³PQNä¸ï¼ä¸æPBâ¥PQï¼â BPM+â BPQ+â QPN=180°
æ以ï¼â BPM+â QPN=90°æ以â BPM=â PQNï¼â PBM=â QPN
综ä¸ï¼Rtâ³BPMâRtâ³PQNï¼å æ¤ï¼PB=PQ
â¡â设å边形PBCQ为yâï¼æçæ¯å边形çé¢ç§¯è¿æ¯è¾¹é¿ï¼é¢ç®å°æåäºï¼æ æ³è§£çã
â¢å çå¾çä¸çâ¡ï¼
æ¤æ¶ï¼Qç¹å¨CDä¸ï¼å¾æ¾ç¶è¦ææçè °ä¸è§å½¢ï¼å¿ 须满足çææ¡ä»¶ä¸ºï¼PQ=PCæè QP=QCæè CP=CQ
1ã对äºPQ=PCï¼å 为â PCQ=45°ï¼æ以â PQC=45°ï¼é£ä¹â CPQ=90°ï¼å³CPâ¥QPï¼èé¢ç®ä¸æPBâ¥PQï¼PCä¸PBä¸å¯è½éåï¼æ以è¿ä¸ªæ¯ä¸æç«çã
2ãQP=QCï¼åæ ·å 为â PCQ=45°ï¼æ以â CPQ=45°ï¼é£ä¹â PQC=90°ï¼æ¤æ¶Qç¹ä¸Nç¹éåãç±äºPBâ¥PQï¼PBå°å¹³è¡äºABï¼çç¾ï¼æ以è¿ä¸ªä¹æ¯ä¸æç«çã
3ãCP=CQï¼åæâ CPQ=â PQCãå 为â PCQ=45°ï¼â PQCææ¾å¤§äº90°为éè§ï¼è¿ç§æ åµä¸ä¸å¯è½åºç°CP=CQã
åçå¾çâ¢ï¼
注æé¢ç®ä¸ç»åºçæ¯å°çº¿DCï¼æ以Qç¹åªè½åè¿ä¸ªæ¹åãæ¤æ¶â PCQ=135°ï¼æ以PQâ PCï¼QPâ QCãå¯ä¸çå¯è½æ¯CQ=CPã
æ¤æ¶åæ ·åBCçå¹³è¡çº¿åå«äº¤ABãCDäºMãNãå 为AP=xï¼æ以PC=â2-x=CQï¼NP=NC=(â2-xï¼/â2ï¼é£ä¹NQ=NC+CQ=ï¼â2-xï¼ï¼1+1/â2ï¼
èMP=1-PN=1-(â2-xï¼/â2ï¼å¯ä»¥è¯æMP=NQ
æ以解æ¹ç¨å¯å¾å°x=1