初二几何数学题

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，P、Q分别是边AB、AC上的点。
⑴如图1，若∠MPB=∠MQC=90°，证明：MP=MQ ;
⑵如图2，若∠MPB+∠MQC=180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

（1）因为AD是角平分线，所以角BAD=角DAC；DE⊥AB，所以角AED=90度，DF⊥AC，所以角AFD=90度，所以角AED=角AFD；AD=AD。所以△AED全等△ADF。所以AE=AF。设AD，EF交于O，然后再证△AEO全等△AFO（AE＝AF；角BAD=角DAC；AO＝AO）。所以角AOE＝角AOF，又因为角EFO＝180度，所以角AOE＝角AOF＝90度，所以EF与AD垂直。
（2）因为平行，所以△ABD相似△EFD：EF／AB＝FD／BD。同理：EF／CD＝FB／BD．两式相加，EF（1／CD＋1／AB）＝1，两边同除EF。所以1/AB+1/CD=1/EF。
S△ABD＝S△BED＋S△DBC

Answer 2

1，∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD
RT△AED≌RT△AFD
∴AE=AF即△EAF为等腰AD平分顶角
∴EF⊥AD
2，∵AB平行CD
∴EF/AB=FD/BD
①
∵EF平行AB
EF/CD=FB/BD
②
① +
②得：EF/AB+EF/CD=FD/BD+FB/BD
∴EF/AB+EF/CD=1两边同除以EF
∴1/AB+1/CD=1/EF
3，1/S△ABD+1/S△BED=1/S△DBC
分别过A，E，C作BD的垂线分别交于G，H，I
可证明△ABG，△EFH，△CDI相互相似
∴EF/AB=EH/AG，EF/CD=EH/CI
∴EH/AG+EH/CI=1
∴EH×BD/（BD×AG）+EH×BD（/CI×BD）=1
1/（BD×AG）+1/（CI×BD）=1/EH×BD
1/S△ABD+1/S△BED=1/S△DBC

Answer 3

1,DE=DF
由一直条件得，△ADE≌△ADF，则AE=AF，设AD交EF于O，因为∠DAE=∠DAF，所以△AOE≌△AOF，所以EO=FO，因为等腰三角形底边的三线重合，所以，AD⊥EF
2，△DEF≌△DAB，△BEF≌△BCD，则EF/AB=DF/BD，EF/CD=BF/BD，则EF/AB+EF/CD=DF/BD+BF/BD=1，则1/AB+1/CD=1/EF。

Answer 4

（1）AB=A C
∠B=∠C ∠MPB=∠MQC=90°
△MBP≌△MQC
MP=MQ
（2）过M做ME⊥AB，MF⊥AC 连接AM
AB=AC，M是中点
MF=ME
∠MPB+∠MQC=180°
∠MQC+∠MQA=180°
∠MPB=∠MQA
∠MEP =∠∠MFC =90°
△MEP≌△MFQ
MQ=MP本回答被提问者采纳

Answer 5

△ABC是等要三角形 则＜B＝＜C 因为＜MPB＝＜MQC且MB＝MC得这两个是全等三角形所以MP＝MQ成立 ②不成立 因为点P Q可以随意划动 只有两点的高度相同时才成立