求解线性代数的矩阵以及线性相关的问题

Question

为什么线性方程组有至少两个不同的解或者无解则它的系数行列式为零。
为什么齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则它只有零解。

不知道第五题怎么证明

第三题和第四题的第二小问求高手证明 谢谢！

Answer 1

3、因为α1-β,α2-β线性相关，所以存在不全为0的数x1,x2使得
x1(α1-β)+x2(α2-β)=0
于是 x1α1-x1β+x2α2-x2β=0
即x1α1+x2α2=（x1+x2）β
这里x1+x2一定不为0，
否则，若x1+x2=0，则存在不全为0的数x1,x2使得x1α1+x2α2=0
与α1,α2线性无关矛盾。
由此 β=[x1/(x1+x2)]α1+[x2/(x1+x2)]α2
令k1=x1/(x1+x2),k2=x2/(x1+x2)
则k1+k2=1
且 β=k1α1+k2α2
4题更简单，转化为齐次线性方程组只有0解就可以了。