设f（x）连续，则求导：积分号 t 乘以f（x平方—t平方）dt 其中积分上限是x 下限是0，也就是98年的考研题!

Question

主要是被 x和t以及用U做代换的解法已经完全搞晕了！字母太多了！ 想问下解答的过程的解释！不是想要解答，答案我有，是解答的过程的解释！谢谢

Answer 1

∫[0,x] tf(x^2-t^2)dt=(1/2)∫[0,x] f(x^2-t^2)d(t^2)
由积分上限函数的性质[d/dx][∫[a,x] f(u)du]=f(x)
可令u=x^2-t^2,所以du=-d(t^2), t=0时.u=x^2,t=x时,u=0所以原式=[-1/2]∫[x^2,0] f(u)du
=[1/2]∫[0,x^2] f(u)du,所以[d/dx]原式=[1/2]f(x^2)*2x=xf(x^2)
对什么求导是看后面的d(...)
u=x^2-t^2,x是自变量,u则是关于x的函数(因变量)

Answer 2

具体问什么？追问

我就是对于变上限积分函数的X和t搞不清，不是简单的求导不会，而是例如这种较复杂的题，就不会了！至于这题，就是解答过程，尤其是用U代换（x平方—t平方）以及后面过程的解释。高高手们帮帮忙啊！

追答

对t积分，在积分过程中就可以把x看成常数。
本题有两个难点，一是参变量求导，一是求导后的积分
∫(0,x)2xtf'(x^2-t^2)dt做变量替换u=x^2-t^2，
则du=-2tdt,积分限(0,x)变成(x^2,0)，故
∫(0,x)2xtf'(x^2-t^2)dt=x∫(x^2,0)f'(u)du=x∫(x^2,0)df(u)。
哪里还不清楚？

追问

∫(0,x) t f(x^2-t^2)dt 这是原式 令U=（X平方-t平方） 把X看成常数（其实这里就很郁闷啊！能随便把X看成常数吗？看成常数那后面求导到底是对X还是T啊，这不混淆了吗)则积分上限变为0,下限变为X的平方，dt变为-du 那积分号后面的t怎么代换啊？ 难道是t=（根号下的X平方减去U）？

追答

du=-2tdt整体带入。对每个给定的x，都有一个积分值，所以积分过程就是先把x固定。