矩阵初等变换后行列式需要变号吗？

Question

如题所述

Answer 1

行列式需要变号，矩阵不需要，因为对矩阵实施初等变换后，得到的矩阵不是原来的矩阵，但矩阵的秩不会变。矩阵不是数，是阵。阵，无所谓正负，无所谓符号。行列式，是数，面积。是体积。有方向，所以有符号。如安培的右手。

首先，矩阵没有符号这一说法，说的是行列式。矩阵是没有值的，矩阵就是一个数阵，互换两行属于初等行变换。而行列式是个值，所以，互换行列式的两行，行列式的值要变号。

1、交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为ri，rj）；

2、以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）；

3、把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

一般采用消元法来解线性方程组，而消元法实际上是反复对方程进行变换，而所做的变换也只是以下三种基本的变换所构成：

（1）用一非零的数乘以某一方程

（2）把一个方程的倍数加到另一个方程

（3）互换两个方程的位置

于是，将变换（1）、（2）、（3）称为线性方程组的初等变换。