可积函数一定连续吗？

Question

如题所述

Answer 1

可积函数不一定连续，如分段函数，连续函数不一定可积，如[1,无穷]$(1/x)dx。但连续函数在有界闭区间上一定是可积的。

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。

注意，函数可以有不定积分（反导数），而并不在如下的定义中可积。

扩展资料：

一个实变或者复变量的实值或者复值函数是在区间上平方可积的，如果其绝对值的平方在该区间上的积分是有限的。所有在勒贝格积分意义下平方可积的可测函数构成一个希尔伯特空间，也就是所谓的L空间，几乎处处相等的函数归为同一等价类。

形式上，L是平方可积函数的空间和几乎处处为0的函数空间的商空间。

这在量子力学上很有用，因为波函数必须在空间上平方可积才能从理论中得到物理可能解。