[(1+x) ^(3/2)-x^(3/2)]/x^(1/2)当x趋于正无穷大极限是多少

Question

答案是3/2,使用了洛必达但是得到了单项式；用a^3-b^3的公式化简得好看了一些，但还是求不出来，求各位大神指教，感恩！

Answer 1

我这个才是最正统、最容易理解的方法，详细到地心的回答，详见图片。（别用洛必达，洛si你，泰勒也展不了，楼上那位很多个根号硬乘的哥们真心佩服~）。

详细到地心的步骤

(1+x) ^(3/2)-x^(3/2)]/x^(1/2)的斜近线求法。

Answer 2

可以不用洛必达，其中用到有理化

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Answer 3

3^x < 1+2^x+3^x < 3 * 3^x
3 < (1+2^x+3^x) ^ (1/x) < 3^(1/x) * 3
lim(x->+∞) 3^(1/x) = 1
由迫敛准则（夹挤准则）得：
lim(x->+∞) (1+2^x+3^x) ^ (1/x) = 3

Answer 4

解：∵lim(x->+∞)[ln(1+2^x+3^x)/x]
=lim(x->+∞)[(ln(1+2^x+3^x))'/(x)'] (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=lim(x->+∞)[(2^x*ln2+3^x*ln3)/(1+2^x+3^x)]
=lim(x->+∞)[((2/3)^x*ln2+ln3)/((1/3)^x+(2/3)^x+1)]
=(0*ln2+ln3)/(0+0+1)
=ln3
∴lim(x->+∞)[(1+2^x+3^x)^(1/x)]
=lim(x->+∞){(e^[ln(1+2^x+3^x)/x]}
=e^{lim(x->+∞)[ln(1+2^x+3^x)/x]}
=e^3。

Answer 5

先取对数，再用洛比达法则，lim [ln(1+2^x+3^x)]/x=lim(2^xln2+3^xln3)/(1+2^x+3^x)=ln3
所以lim(1+2^x+3^x)^1/x=e^(ln3)=3 (x趋于正无穷）