求计算对坐标的曲线积分(2x+y)dx+(x+2y)dy,其中L是坐标轴与x/3+y/4=1

Question

正确答案是0，求详细步骤，万分谢谢

Answer 1

要计算对坐标的曲线积分，可以使用线积分的定义：
∮L (2x+y)dx + (x+2y)dy
其中L是由x/3 + y/4 = 1确定的曲线。
首先，我们需要找到参数方程来表示曲线L。我们可以通过解这个方程来找到它：
x/3 + y/4 = 1
将它改写为：
x = 3t
y = 4(1 - t)
现在，我们有参数方程x(t)和y(t)。接下来，我们需要计算dx和dy：
dx = 3dt
dy = -4dt
现在，我们可以将这些代入线积分的定义：
∮L (2x+y)dx + (x+2y)dy
= ∫(from t=a to t=b) [(2(3t) + 4(1 - t)) * 3dt + (3t + 2(4(1 - t))) * (-4dt)]
= ∫(from t=a to t=b) [(6t + 4 - 4t) * 3dt + (3t + 8 - 8t) * (-4dt)]
= ∫(from t=a to t=b) [(2t + 4) * 3dt + (-5t + 8) * (-4dt)]
= ∫(from t=a to t=b) (6t + 12 + 20t - 32) dt
现在，我们可以计算积分：
= ∫(from t=a to t=b) (26t - 20) dt
= [13t^2 - 20t] (from t=a to t=b)
现在，我们需要找到参数a和b的值，这些值分别对应于曲线L的起点和终点。根据参数方程x=3t和y=4(1-t)，我们可以得到：
当x=0时，t=0（起点）
当x=3时，t=1（终点）
现在，我们可以计算积分的值：
= (13(1)^2 - 20(1)) - (13(0)^2 - 20(0))
= (13 - 20) - (0 - 0)
= -7 - 0
= -7
所以，对坐标的曲线积分∮L (2x+y)dx + (x+2y)dy等于-7。不等于0。追问

教材上的题，答案就是0，L是坐标轴与直线围成的三角形

Answer 2

根据题意，我们需要计算曲线积分(2x+y)dx+(x+2y)dy，其中L是坐标轴与x/3+y/4=1
将曲线L的方程x/3+y/4=1化为参数方程形式：
x=3t，y=4t-4
将参数方程代入曲线积分中：
原积分转化为：
∮(2x+y)dx+(x+2y)dy=∮(6t+4t-4)dt=∮10dt=10∮dt=10(t)|(0,4-4/3)=10(4-4/3)=80/3
因此，计算结果为80/3
但是答案为0，可能是题目有误或者答案有误

Answer 3

为了计算这个曲线积分，我们首先需要找到曲线 x/3 + y/4 = 1 与坐标轴的交点。
当 y = 0 时，x = 3。所以，曲线与 x 轴的交点是 (3, 0)。
当 x = 0 时，y = 4。所以，曲线与 y 轴的交点是 (0, 4)。
现在我们可以计算积分了。使用极坐标变换，首先找到极坐标系下的表达式。
x = r*cos(θ)
y = r*sin(θ)
我们需要将直角坐标系下的表达式转换为极坐标系下的表达式。因此，
(2x + y)dx + (x + 2y)dy = (2r*cos(θ) + r*sin(θ)) * r * dθ + (r*cos(θ) + 2r*sin(θ)) * r * dθ
将上式整理得：
(2cos(θ) + sin(θ)) dr + (cos(θ) + 2sin(θ)) dr
我们需要计算曲线与坐标轴围成的面积，所以需要计算极坐标下的积分：
∫(2cos(θ) + sin(θ)) dr + (cos(θ) + 2sin(θ)) dr，其中积分范围为θ从 0 到π/2（因为曲线在第一象限）。
积分得：
∫(2cos(θ) + sin(θ)) dr + (cos(θ) + 2sin(θ)) dr = (2sin(θ) + cos(θ)) + (sin(θ) + 2cos(θ))
将积分的上下限代入，得到：
(2sin(π/2) + cos(π/2)) + (sin(0) + 2cos(0)) = (2*1 + 0) + (0 + 2*1) = 4
所以，曲线 x/3 + y/4 = 1 与坐标轴围成的面积为 4。

Answer 4

【分析】
根据曲线积分的计算法则及微分法求出曲线积分即可．
【解答】
∵
L
：
x
3
+
y
4
=
1
∵L：
3
x
​
+
4
y
​
=1，
∴
∴参数方程为${\begin{matrix} x = 3t \
y = 4t \
\end{matrix}(0 \leqslant t \leqslant 1)$，
原曲线积分转化为
∫
0
1
(
2
×
3
t
+
4
t
)
d
t
=
(
6
t
2
+
4
t
)
∣
0
1
=
0
∫
0
1
​
(2×3t+4t)dt=(6t
2
+4t)∣
0
1
​
=0．
故答案为
0
0．

Answer 5

首先，我们需要知道如何对给定的曲线积分表达式进行计算。
假设曲线方程为：y = f(x)
那么曲线上的一个点可以表示为(x, f(x))
所以，曲线上的一个曲线积分可以表示为：
∫f(x)dx
对于本题来说，我们需要求的是：(2x+y)dx+(x+2y)dy
其中L是坐标轴与x/3+y/4=1
将曲线方程代入曲线积分表达式：
对于(2x+y)dx，代入后为：
2x dx + y dx
对于(x+2y)dy，代入后为：
x dy + 2y dy
所以，原积分表达式变为：
2x dx + y dx + x dy + 2y dy
接下来，我们需要知道如何对给定的曲线进行积分。
假设曲线方程为：x = f(t), y = g(t)
那么曲线上的一个点可以表示为(f(t), g(t))
所以，曲线上的一个曲线积分可以表示为：
∫g(t) df(t)
对于本题来说，我们需要求的是：(2x+y)dx+(x+2y)dy
其中L是坐标轴与x/3+y/4=1
将曲线方程代入曲线积分表达式：
对于(2x+y)dx，代入后为：
2x dx + y dx
对于(x+2y)dy，代入后为：
x dy + 2y dy
所以，原积分表达式变为：
2x dx + y dx + x dy + 2y dy
接下来，我们就可以根据公式进行计算了。
首先，我们需要知道曲线L的参数方程。
根据题目中的描述，曲线L是坐标轴与x/3+y/4=1的交线，所以参数方程为：
x = 3t, y = 4t
将参数方程代入积分表达式：
2x dx + y dx + x dy + 2y dy
变为：
6t dx + 4t dx + 3t dy + 8t dy
整理得：
10t dx + 11t dy
根据曲线积分的计算公式，可知：
原积分 = ∫ (起点到终点) 10t dt + 11t dt
其中，起点为(0,0)，终点为(1,4)
根据公式计算：
原积分
=
10
×
(
1
−
0
)
/
3
+
11
×
(
4
−
0
)
/
4
原积分=10×(1−0)/3+11×(4−0)/4
= 14.333333333333334