已知L为曲线x2+y2=1，取逆时针方向，求对坐标的曲线积分∮y2dx+x2dy?

Question

第六个

Answer 1

<L>∮y²dx+x²dy；L：单位园x²+y²=1，沿逆时针方向对坐标的积分。
解：L：x=cost，y=sint；0≤t≤2π; dx=-sintdt; dy=costdt；
∴<L>∮y²dx+x²dy=∫<0,2π>(sin²t)(-sint)dt+(cos²t)(cost)dt
=∫<0,2π>(cos³t-sin³t)dt=∫cos³tdt-∫sin³tdt 【下限0，上限2π】
=∫(1-sin²t)d(sint)+∫(1-cos²t)d(cost) 【0,2π】
=[sint-(1/3)sin³t]+[cost-(1/3)cos³t]【0,2π】
=0+[1-(1/3)]-[1-(1/3)]=0