等差数列求和公式

Question

s=1+4+9+16+25+............+n*n

Answer 1

题目转化：数列{An=nn}，求Sn_{nn}（表示数列{nn}的前n项和)
方法一：
(n-1)^3=n^3-3nn+3n-1
或:用立方差公式：
n^3-(n-1)^3=nn-n(n-1)+(n-1)^2
殊途同归，得到
n^3-(n-1)^3=3nn-3n+1
。。。同理
2^3-1=3*2*2-3*2+1
1^3-0=3*1*1-3*1+1
累加得：
n^3=3Sn-3n(n+1)/2+n
化简：
2(nnn)-2n=6Sn-3n(n+1)=2n(n+1)(n-1)
6Sn=n(n+1)(2n-2+3)
Sn=n(n+1)(2n+1)/6

方法二：
n(n+1)=(n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1))/3
用类似上面的方法，得到
Sn_{n(n+1)}=n(n+1)(n+2)/3
又
nn=n(n+1)-n
故Sn_{nn}=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
=n(n+1)((2n+4)-3)/6
此法较为快捷。

方法三：模型法
在脑海中构建一个跳棋盘，由一个大三角形组成，每个网眼均为小三角形。
网格格点(网点)上的数字按以下布置：
1
2 2
3 3 3
。。。。
n n 。。n(共n个n)
显然所有数字之和即为所求。
将这个三角形变换成：
n
..
...
...3
n..3 2
n..3 2 1
及
n
。。
。。。
3 。。n
2 3 。。n
1 2 。。。n
再将相同位置的各数相加，
所有这些数均变为2n+1,他们共有多少个？(1+2+...n=n(n+1)/2)
他们的和为：
3*Sn=(2n+1)*n(n+1)/2
这个方法是凑巧么？未必！
想想我们计算1+2+3+...+n，不也可以变换成n+...+3+2+1么？

其他方法：
待定系数法，（拉格朗日|牛顿）插值法，差分，发生函数，从略。
将在我的以下博文中完善。
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/e8798060b727add88db10d84.html

Answer 2

用归纳法。
1）当n=1时，1^2=1*2*3/6=1，等式成立。
2）假设n=k时，1^2+2^2+3^2......+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立。
那么：
1^2+2^2+3^2......+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)/6*[k(2k+1)+6(k+1)]
=(k+1)/6*(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
等式也成立。
3）因为n=1等式成立，所以
1^2+2^2+3^2......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
恒成立
还有 立方差公式
我们知道 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1

(1 + 1)^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.............
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1

以上相加得到：
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ... 此处引用：1 + 2 + 3 + .... + n = n(n + 1)/2

整理化简即可得到：

Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

还好找得到 不用我输入
http://zhidao.baidu.com/question/17312996.html?fr=qrl&fr2=query
http://zhidao.baidu.com/question/25149668.html

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/25149668.html

Answer 3

等差数列求和公式

Answer 4

公式　Sn=(a1+an)n/2 　　Sn=na1+n(n-1)d/2; （d为公差） 　　Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2) 　　和为 Sn 　　首项 a1 　　末项 an 　　公差d 　　项数n
编辑本段通项
　　首项=2×和÷项数-末项 　　末项=2×和÷项数-首项 　　末项=首项+（项数-1）×公差 　　项数=（末项-首项）（除以）/ 公差+1 　　公差=如：1+3+5+7+……99 公差就是3-1 　　d=an-a<n-1>
编辑本段性质：
　　若 m、n、p、q∈N 　　①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 　　②若m+n=2q，则am+an=2aq 　　注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。本回答被网友采纳

Answer 5

a1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差 　　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2 　　Sn=(a1+an)n/2 　　若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq 　　若m+n=2p则：am+an=2ap 　　以上n.m.p.q均为正整数

第n项的值an=首项+（项数-1）×公差 　　前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1）公差/2 　　公差d=(an-a1)÷（n-1） 　　项数=（末项-首项）÷公差+1 　　数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数 　　数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2 　　等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列

通项公式
　　公差×项数+首项-公差

通项公式：
An=A1+(n-1)d
An=Am+(n-m)d
等差数列的前n项和：
Sn=[n(A1+An)]/2
Sn=nA1+[n(n-1)d]/2
等差数列求和公式:等差数列的和=(首数+尾数)*项数/2;
项数的公式:等差数列的项数=[(尾数-首数)/公差]+1.

参考资料：百度百科 和 http://zhidao.baidu.com/question/81360515.html#