3、微分方程 \( y' - y = 0 \) 的解为 \( y = e^x \)，因此通解是 \( y = Ce^x \)。再考虑微分方程 \( y' - y = \cos x \) 的特解。设 \( y = asin x + bcos x \)，则 \( y' = acos x - bsin x \)，\( y' - y = (a - b)sin x + (a + b)cos x \)。令 \( a - b = 1 \) 且 \( a + b = 0 \)，解得 \( a = \frac{1}{2} \)，\( b = -\frac{1}{2} \)，故微分方程的通解是 \( y = Ce^x + \frac{1}{2}(sin x - cos x) \)。再令 \( x = 0 \)，\( y = 0 \) 代入得知 \( C = 0.5 \)，因此解为 \( y = 0.5(e^x + sin x - cos x) \)。
4、微分方程 \( y' + \frac{1 - 2x}{x^2}y = 1 \)，即 \( \left(\frac{e^{-1/x - 2\ln x}}{x^2}\right)y \) 的导数为 \( e^{-1/x - 2\ln x} \left(y' + \frac{1 - 2x}{x^2}y\right) = e^{-1/x} \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right) \)。于是通解为 \( y = Ce^{-1/x - 2\ln x} + e^{-1/x} \)，即 \( y = Ce^{-1/x - 2\ln x} + \frac{1}{x^2} \)。令 \( x = 1 \) 时，\( y = 0 \) 代入得 \( C = -e \)。故解为 \( y = -e^{-1/x - 2\ln x + 1} + x^2 \)。
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