已知二次函数f(x)满足f(0)=8，f(x+1)-f(x)=-2x+1. ①求函数f(x)在R上

已知二次函数f(x)满足f(0)=8，f(x+1)-f(x)=-2x+1.
①求函数f(x)在R上的值域；
②求证：函数f(x)在区间(-∞，1]上是增函数.

推荐答案 2016-02-14

由f(0)=8，设f(x)x=ax²+bx+8，由f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)+8-ax²-bx-8=2ax+a+b=-2x+1，可得a=-1，b=2。故f(x)=-x²+2x+8。
1、f(x)=-x²+2x+8=-(x-1)²+9，可得值域为[9，-∞)。
2、由解析式可得函数对称轴x=1，且开口向下，故函数在区间(-∞，1]上单调增加。
或：f'(x)=-2x+2，当x∈(-∞，1]时，f'(x)≥0，故函数f(x)在区间(-∞，1]上是增函数。

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