概率论与数理统计的问题

Question

{ 1/[PAI*根号(1-x^2)] |x|<1
设随机变量X的密度函数为f(x)={
{ 0 其它

求X的分布函数
f(x)后面的是"大括号"

尽量写详细些,正在"预习",看不懂"简写"~ 我先谢谢啦!^-^

Answer 1

注意到：根号1/(1-x^2)的一个原函数为arcsinx
首先：分布函数F(x)=负无穷到x,f(x)的积分
而 x<-1 时，f(x)=0, 故F(x)=0;
-1<=x<1时，
F(x)=负无穷到x,f(x)的积分
＝负无穷到-1,f(x)的积分 + -1到x,f(x)的积分＝0+ -1到x,f(x)的积分
= -1到x,f(x)的积分
＝(1/pi)*[arcsinx-arcsin(-1)]
=(1/pi)*[arcsinx+pi/2]
x>=1
F(x)=负无穷到x,f(x)的积分
＝负无穷到-1,f(x)的积分+
+(-1)到1,f(x)的积分+ 1到x f(x)的积分
＝0+(-1)到1,f(x)的积分+0
=(1/pi)*[arcsin1-arcsin(-1)]
=1.

即有
x<0, F(x)=0
-1<=x<1, F(x)=(1/pi)*[arcsinx+(pi)/2]
x>=1, F(x)=1.

Answer 2

算积分呐.
x<-1的时候, 函数值为0.
[-1,1]直接对上面那个函数求积分 (利用三角函数代换求解)
x>1的时候, 函数值为1