大学数学线性代数的题目，求解并写出详细过程

Question

如题所述

Answer 1

【分析】
基础解系有3个条件：
1、是方程组Ax=0的解。
2、是线性无关的解。
3、方程组Ax=0的任一解都可以线性表出。 （隐含的条件是 基础解系解向量个数=n-r（A） ）

【解答】
（证 ：1、是方程组Ax=0的解。）
α1，α2，...，αs是方程组Ax=0的基础解系
α1，α2，...，αs能够线性表示βj，那么βj是方程组Ax=0的解。
（证：2、是线性无关的解。）
令A=（α1，α2，...，αs），B=（β1，β2，...，βs），
则根据已知 β1=α2+...+αs，β2=α1+...+αs，......
写成矩阵形式 （α1，α2，...，αs）C = （β1，β2，...，βs）
矩阵C 为
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0
由于α1，α2，...，αs是方程组Ax=0的基础解系，所以线性无关，又因为矩阵C的 |C|≠0，可逆。
那么（β1，β2，...，βs）必然线性无关。
（3、能够表示方程组Ax=0的所有解。）
由于（α1，α2，...，αs）C = （β1，β2，...，βs），C可逆。
r（A）=r（B）=s ，解向量的个数相等。
n-r（A）=n-r（B）

综上所述，βj是方程组的基础解系。

【评注】
基础解系应当从上面3个方面来考虑。

newmanhero 2015年3月9日10:58:49

希望对你有所帮助，望采纳。