求下面这道线性代数题目的两问答案具体过程

Question

如题所述

Answer 1

首先，需要找到矩阵A的对角化形式。先找一个可逆矩阵P和一个对角阵D让PA = D。

矩阵A是对称的（它的转置等于它本身），所以它是实对称矩阵。根据实对称矩阵的重要性质，存在正交矩阵Q使AQ是上三角形或下三角形的形式。所以，可以把A表示为：

A = Q * Λ * (QT)

Λ是一个对角阵，QT是Q的 transpose（Q的转置）。

现在我们要找出这个正交矩阵Q以及对应的对角阵Λ。A是一个2x2的矩阵，直接计算特征值λ1, λ2，把它作为对角阵Λ的元素。然后把这些特征向量v1, v2分别乘以单位长度组合成列向量q1, q2构成正交矩阵Q。

假设我们找到了这样的Q和Λ，有以下关系成立：
A = Q * Λ * QT

接下来看第二个问题：求解Ax = x的情况。
在这种情况下，x是非零且与e1正交的，那么x可以写成以下形式：

x = α * e2 + β * e3

其中α、β不全为0。把表达式带入到方程中得到:

A(αe2+βe3) = (α*λ2)e2 + (βλ3)e3 = kx

k是我们要找的比例因子。通过比较系数，可以得出关于α、β和k的关系式组，然后确定出比例因子k的具体数值。

Answer 2

这题估计是你自己凑的数出来吧